<p class="ql-block">2.2 基本不等式</p><p class="ql-block">第一課時 基本不等式</p><p class="ql-block">課標(biāo)要求 1.掌握基本不等式≤2(a＋b)(a>0，b>0). </p><p class="ql-block">2.能利用基本不等式求簡單的最值問題.</p><p class="ql-block">【引入】有個金店的天平壞了，天平的兩臂長短不相等，店主不想購置新的天平，又怕別人說他缺斤少兩，于是他想出一個辦法：先把顧客要購買的黃金放入左邊的托盤中，右邊托盤中加砝碼得到一個讀數(shù)，再把黃金放入右邊的托盤中，在左邊托盤加砝碼得到第二個讀數(shù)，然后把兩個讀數(shù)相加除以2作為黃金的最終質(zhì)量出售.你覺得店主這個買賣做到誠信無欺了嗎？要解決這個問題，我們一起探究一下吧！</p><p class="ql-block">一、基本不等式</p><p class="ql-block">探究1 重要不等式：a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.當(dāng)a>0，b>0時，用，分別代替重要不等式中的a，b可以得到什么樣的結(jié)論？該結(jié)論中等號成立的條件是什么？</p><p class="ql-block">提示 a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，“＝”成立.</p><p class="ql-block">探究2 你能證明上述探究1中得到的結(jié)論嗎？</p><p class="ql-block">提示 法一(作差法)</p><p class="ql-block">2(a＋b)－＝2(ab)＝2(b）2)＝2(b）2)≥0，</p><p class="ql-block">即2(a＋b)≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.</p><p class="ql-block">法二(性質(zhì)法)</p><p class="ql-block">要證≤2(a＋b)，</p><p class="ql-block">只需證2≤a＋b，</p><p class="ql-block">只需證2－a－b≤0，</p><p class="ql-block">只需證－(－)2≤0，</p><p class="ql-block">顯然(－)2≥0成立，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.</p><p class="ql-block">探究3 結(jié)合課本P45中的探究，你能否給出2(a＋b)≥的一種幾何解釋？</p><p class="ql-block">提示 如圖AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC＝a，BC＝b，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝.由于CD小于或等于圓的半徑，故用不等式表示為≤2(a＋b).</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">因此，基本不等式≤2(a＋b)的幾何意義是“圓的半徑不小于半弦”.</p><p class="ql-block">【知識梳理】</p><p class="ql-block">1.基本不等式：如果a>0，b>0，則≤2(a＋b)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.</p><p class="ql-block">2.其中2(a＋b)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).</p><p class="ql-block">溫馨提示 (1)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：①當(dāng)a＝b時取等號，即a＝b2(a＋b)＝；②僅當(dāng)a＝b時取等號，即2(a＋b)＝a＝b.</p><p class="ql-block">(2)基本不等式的常見變形：①a＋b≥2；</p><p class="ql-block">②ab≤2(a＋b)≤2(a2＋b2).</p><p class="ql-block">例1 (1)設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是( )</p><p class="ql-block">A.a<b<<2(a＋b) B.a<<2(a＋b)<b</p><p class="ql-block">C.a<<b<2(a＋b) D.<a<2(a＋b)<b</p><p class="ql-block">(2)若實(shí)數(shù)a，b滿足0<a<b，且a＋b＝1，則下列四個數(shù)中最大的是( )</p><p class="ql-block">A.2(1) B.a2＋b2 </p><p class="ql-block">C.2ab D.a</p><p class="ql-block">答案 (1)B (2)B</p><p class="ql-block">解析 (1)法一 ∵0<a<b，∴a<2(a＋b)<b，排除A，C兩項(xiàng).</p><p class="ql-block">又－a＝(－)>0，即>a，排除D項(xiàng).</p><p class="ql-block">法二 取a＝2，b＝8，則＝4，2(a＋b)＝5，</p><p class="ql-block">所以a<<2(a＋b)<b.</p><p class="ql-block">(2)由題設(shè)知0<a<b，且a＋b＝1，</p><p class="ql-block">所以0<a<2(1)，2(1)<b<1，排除D.</p><p class="ql-block">又2(a2＋b2)>2(a＋b)＝4(1)，故a2＋b2>2(1)，知排除A.</p><p class="ql-block">由a2＋b2>2ab，所以a2＋b2最大.</p><p class="ql-block">思維升華 利用基本不等式比較實(shí)數(shù)大小的注意事項(xiàng)</p><p class="ql-block">(1)利用基本不等式比較大小，常常要注意觀察其形式(和與積).</p><p class="ql-block">(2)利用基本不等式時，一定要注意條件是否滿足a>0，b>0.</p><p class="ql-block">訓(xùn)練1 (多選)若a>b>0，則下列不等式成立的是( )</p><p class="ql-block">A.2(a＋b)> B.a＋b(2ab)<2(a＋b)</p><p class="ql-block">C.a＋b(2ab)>2(a＋b) D.>a＋b(2ab)</p><p class="ql-block">答案 ABD</p><p class="ql-block">解析 由a>b>0，得<2(a＋b)，即2(a＋b)>，</p><p class="ql-block">所以a＋b(ab)<1，即a＋b(2ab)<，</p><p class="ql-block">故選項(xiàng)ABD均成立.</p><p class="ql-block">二、基本不等式與最值定理</p>