小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)的設(shè)計策略

恒毅

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022）》明確提出“幾何直觀”是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。要培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，幾何直觀教學(xué)在義務(wù)教育階段的教學(xué)中有著重要的作用，設(shè)計合理的幾何直觀教學(xué)策略對于一線教師來說很有研究價值與意義，引導(dǎo)學(xué)生能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實世界的意識與習(xí)慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識。本文主要針對“幾何直觀教學(xué)”的內(nèi)涵、教學(xué)中存在的問題、適合開展幾何直觀教學(xué)的內(nèi)容、可行的教學(xué)方法等四個方面開展研究。希望我們的研究，能夠引發(fā)教師們的思考，并為有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力提供參考。 關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；幾何直觀教學(xué)；現(xiàn)狀分析；設(shè)計策略 幾何直觀教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中越來越受到重視，它的意義體現(xiàn)在既可以培養(yǎng)學(xué)生的直觀思考能力，又可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。筆者認(rèn)為，一個合格的小學(xué)數(shù)學(xué)教師理應(yīng)對幾何直觀有更進(jìn)一步的認(rèn)識，深入理解幾何直觀教學(xué)的內(nèi)涵，把握幾何直觀教學(xué)的價值，合理設(shè)計并實施幾何直觀教學(xué)。在教學(xué)實踐中，教師能夠通過反思發(fā)現(xiàn)自身及他人存在的問題和不足，研究適切的幾何直觀教學(xué)方法和策略，掌握培養(yǎng)小學(xué)生幾何直觀能力的課堂教學(xué)方式、方法，提高教學(xué)效率。本文將對以上問題做一些探討。 一、幾何直觀教學(xué)的內(nèi)涵與價值探析 （一）幾何直觀教學(xué)的內(nèi)涵 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022）》明確指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！边@段話描述性地解釋了幾何直觀的含義，以及學(xué)生借助幾何直觀學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性和必要性。 數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的直觀是對概念、證明的直接把握?！薄皥D形與幾何”是幾何直觀發(fā)展的基礎(chǔ)，在幾何直觀教學(xué)中，不僅要求學(xué)生對實物或圖形進(jìn)行觀察，并通過思考和想象，形成表象，而且還應(yīng)理解同時有著“數(shù)”“形”兩方面特征的數(shù)學(xué)概念，以“數(shù)”與“形”的角度出發(fā)來學(xué)習(xí)并掌握這些數(shù)學(xué)概念。 因此，我們認(rèn)為“幾何直觀教學(xué)”是指在教學(xué)中將數(shù)學(xué)問題利用幾何圖形等進(jìn)行描述、分析，使問題直觀化、形象化，以利于探索解決問題的思路，預(yù)測可能出現(xiàn)的結(jié)果，直觀理解數(shù)學(xué)，實現(xiàn)有效教學(xué)。 （二）幾何直觀教學(xué)的價值 幾何直觀教學(xué)在教學(xué)中有著不可替代的地位，學(xué)生可以根據(jù)幾何直觀分析并解決數(shù)學(xué)問題，掌握適宜的解題方法，發(fā)展其個性化思考能力。無論是在圖形與幾何領(lǐng)域，還是在非圖形與幾何領(lǐng)域，幾何直觀都體現(xiàn)著顯著的教學(xué)價值。為了提升小學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，我們在非圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)中，應(yīng)進(jìn)行更多的幾何直觀教學(xué)，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識和能力。 由此可見，不管是“圖形與幾何”領(lǐng)域，或者是 “數(shù)與代數(shù)”等其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，幾何直觀教學(xué)都可以運用到其中。教師要明確數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域中哪些內(nèi)容適合使用幾何直觀開展教學(xué)，并有意識地施行幾何直觀教學(xué)，凸顯幾何直觀教學(xué)的重要性。 二、小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)的現(xiàn)狀分析與問題研究 （一）現(xiàn)狀分析 “注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀”是新世紀(jì)數(shù)學(xué)教育中的熱點話題。近年來，國內(nèi)數(shù)學(xué)界越來越重視小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)，但相關(guān)研究主要集中在“思辨研究”，即對“幾何直觀”是什么、為什么要開展幾何直觀教學(xué)以及怎么去實施策略等方面的理論研究。 蔡宏圣在《幾何直觀：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的視角》一文中，提出了關(guān)于幾何直觀“為什么”的追問、“是什么”的品味以及“怎么辦”的求索，指出基于“圖形與幾何”和超越“圖形與幾何”的幾何直觀，寬泛地理解圖形；利用圖形表達(dá)關(guān)系；既要看到圖形的直觀性，又要看到圖形的抽象性。陶玉萍老師結(jié)合自己多年的課堂教學(xué)與實踐活動，發(fā)表了《“幾何直觀”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用》這篇文章，從“幾何直觀”在計算教學(xué)、概念教學(xué)、應(yīng)用題教學(xué)中的運用這三個方面來闡述數(shù)學(xué)教學(xué)中如何有效的實施幾何直觀教學(xué)。 然而在實際的教學(xué)中，一線教師還存在著大量的問題，如只在“圖形與幾何”這個領(lǐng)域進(jìn)行幾何直觀教學(xué)，其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域很少運用此種教學(xué)。所以本文對小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)的研究與實踐進(jìn)行探討，具有較強(qiáng)的現(xiàn)實意義和一定的指導(dǎo)意義。 （二）問題研究 1.對幾何直觀教學(xué)重視不足 部分教師教學(xué)時，對幾何直觀教學(xué)重視不足，缺乏幾何直觀教學(xué)的意識，為了方便自己的教學(xué)，他們?nèi)匀徊捎脗鹘y(tǒng)的教學(xué)方式。除了在“圖形與幾何”這一領(lǐng)域用到幾何直觀教學(xué)，在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域很少用到這種教學(xué)，老師們對圖形直觀沒有足夠的把握，便會使得學(xué)生對圖形直觀的培養(yǎng)出現(xiàn)困難的局面。 2.不習(xí)慣利用“幾何直觀”來輔助學(xué)習(xí) 為數(shù)不少的教師在教學(xué)中很少利用幾何直觀教學(xué)，缺乏模型建構(gòu)的能力，很少想到用幾何直觀的方法來解決實際問題，其自然而然就不會用直觀的圖形語言來輔助分析數(shù)學(xué)問題。長期以往，導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中缺乏利用“幾何直觀”來輔助學(xué)習(xí)的習(xí)慣，甚至覺得有些困難和措手不及。 3.未能將“幾何直觀”滲透進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié) 有的教師沒有將“幾何直觀”滲透進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，而是憑借自己的主觀想法來決定是否進(jìn)行幾何直觀教學(xué)。為了讓學(xué)生對幾何直觀的價值感受得更清晰、更貼切，根據(jù)其年齡特征以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，教師應(yīng)引入恰當(dāng)?shù)膸缀沃庇^來實施教學(xué)。 4.未對抽象的數(shù)學(xué)概念幾何直觀化 在教學(xué)過程中，某些教師將抽象的數(shù)學(xué)概念直接告知學(xué)生，并未對它們進(jìn)行解釋說明，更不用說將其幾何直觀化。久而久之，學(xué)生會背抽象的數(shù)學(xué)概念，但一到做題就出錯，其原因在于學(xué)生根本沒有理解概念，又談何該怎樣應(yīng)用。例如在教學(xué)圓柱的側(cè)面積時，有的教師把“圓柱的側(cè)面積＝底面周長×高”這一計算公式直接告訴給學(xué)生，雖然學(xué)生憑借公式能算出圓柱的側(cè)面積，但是圓柱的側(cè)面積為什么是底面周長乘高，他們是沒有完全理解的，如此的教學(xué)可能會導(dǎo)致學(xué)生對圓柱的側(cè)面積、表面積和體積之間有所混淆，在解決實際問題時，學(xué)生會感到很焦慮、困惑，不知道究竟該用哪個公式，反映出來的作業(yè)效果不佳。 三、幾何直觀教學(xué)的設(shè)計策略 （一）數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)推導(dǎo)過程可視化 我國數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微?！笨梢姡脭?shù)形結(jié)合的方法來解決問題在幾何直觀教學(xué)中占據(jù)了非常重要的地位。由于有的數(shù)學(xué)問題比較抽象，小學(xué)階段的學(xué)生理解起來比較困難，可將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化圖形，憑借幾何的形式去描述或分析就顯得比較具體和形象化，小學(xué)生理解起來就更容易一些。因此，數(shù)形結(jié)合是實施幾何直觀教學(xué)的重要方法之一，憑借直觀的圖形能反映出隱含的數(shù)量關(guān)系。 例如用兩個同寬的長方形拼成一個較大的長方形，然后求這個較大的長方形的面積，建立圖形和數(shù)量間的聯(lián)系，學(xué)生能清楚地感悟乘法分配律。又如在解決“行程問題”的相關(guān)題型時，如果學(xué)生只在腦海中去思考，很難厘清題目中隱含的邏輯關(guān)系，所以解決此類題型，教師可引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖來幫助理解題意，從而學(xué)生對解題思路及過程就顯得更加直觀和清晰。利用數(shù)形結(jié)合的方法來輔助教師教學(xué)和幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)都起到了事半功倍的作用。 （二）在“做”中學(xué)，提升學(xué)生幾何直觀分析力 紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。從教師單純的講解與教材上直接獲取的數(shù)學(xué)知識并不能給學(xué)生留下深刻的印象，致使學(xué)生在應(yīng)用所學(xué)知識來解決問題時顯得有些生疏，遇到新的問題后又不能將已學(xué)知識聯(lián)系起來，更別說靈活運用了，也就是說學(xué)生學(xué)到的知識是碎片化的、零散型的，學(xué)得不透徹，并沒有在腦海中建立起一定的知識系統(tǒng)。幾何直觀教學(xué)策略表明教師教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從單向性的“學(xué)”轉(zhuǎn)化為多向性的“做”，進(jìn)而提高學(xué)生幾何直觀分析力來促進(jìn)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。 例如在探究“三角形的內(nèi)角和為180°”這一內(nèi)容時，如何引導(dǎo)學(xué)生理解這一知識點成為教學(xué)活動的重點。這一結(jié)論看似簡單，是三角形的性質(zhì)之一，教師應(yīng)當(dāng)利用“幾何直觀”的教學(xué)策略來引導(dǎo)學(xué)生動手實踐，比如可以將三角形的三個角撕下來拼在一起，觀察正好拼出了一個平角；又如將三角形的三個角折在一條直上，也剛好拼湊成一個平角；還可以利用量角器分別將三角形三個角的度數(shù)量出來，然后它們加起來等方式來驗證“三角形的內(nèi)角和為180°”。通過撕角、拼角、折角、量角等一系列動手實踐活動來幫助學(xué)生獲得對圖形最直觀的認(rèn)識，親歷獲取知識的全過程，加深習(xí)得新知識的印象。 （三）注重多感官刺激，合理利用身邊的學(xué)材 數(shù)學(xué)來源于生活。幾何直觀教學(xué)應(yīng)保證學(xué)生快速在腦海里聯(lián)想到相應(yīng)的幾何圖形，進(jìn)而逐步建立相關(guān)圖形的圖像認(rèn)知，掌握幾何圖形的基本屬性。也就是說，教師在進(jìn)行幾何直觀教學(xué)的過程中，應(yīng)把能夠反應(yīng)幾何概念的學(xué)材融入到數(shù)學(xué)課堂中，引導(dǎo)學(xué)生在動手操作中受到多感官刺激，視覺、觸覺和聽覺等多方面刺激來幫助小學(xué)生準(zhǔn)確建立幾何圖形的概念和掌握其基本特性，以及在腦海中正確構(gòu)建出幾何圖形的框架。另外，教師在教學(xué)中采取一定的動手操作與空間想象相結(jié)合的教學(xué)方法，學(xué)生在與實物接觸的過程中，最大限度地調(diào)動學(xué)生參與的積極性，以此發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。 例如教學(xué)“認(rèn)識物體和圖形”時，學(xué)生在課前觀察身邊的實物，并通過觸摸、測量等實踐活動，初步感受所學(xué)圖形的特性，課堂上能把水杯、粉筆盒、籃球等憑空想象成圓柱、長方體、球，深化幾何形體在學(xué)生腦海中的印象。又比如在一張長方形紙片上剪下一個最大的正方形，學(xué)生可利用實際的紙張，通過看一看、量一量、剪一剪等活動來助力理解當(dāng)剪下的正方形的邊長等于長方形的寬時，剪下的正方形才是最大的，在操作活動中，學(xué)生也經(jīng)歷了想象的過程，有益于學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。 （四）借助多媒體進(jìn)行動態(tài)分析，為理解知識本源助力 在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)中，教師借助多媒體課件對幾何圖形進(jìn)行動態(tài)分析，助力對知識根源的求索，挖掘出定義和數(shù)理關(guān)系背后的深層聯(lián)系。在教學(xué)過程中，高段的數(shù)學(xué)知識較為復(fù)雜和系統(tǒng)，知識與知識之間存在著相應(yīng)的關(guān)系，處在“互聯(lián)網(wǎng)＋”大信息時代的教師，面對的教學(xué)資源不斷增多，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中可借助多媒體設(shè)備進(jìn)行問題探究的動態(tài)分析，指導(dǎo)學(xué)生一步步推導(dǎo)出結(jié)論，從而更好地輔助教師教學(xué)，提升學(xué)生的思考能力，進(jìn)一步完善幾何直觀教學(xué)的方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 例如探究圓柱的表面積時，教師可利用多媒體課件將一個完整的圓柱體進(jìn)行剖開觀察，求圓柱的表面積實質(zhì)就是將上下兩個圓的面積和一個側(cè)面的面積加起來，通過剖面分析，學(xué)生能夠更直觀地觀察到側(cè)面是一個長方形（長是圓柱底面的周長，寬是圓柱的高），算出長方形的面積就是側(cè)面的面積。借助多媒體進(jìn)行動態(tài)分析，優(yōu)化老師的教，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)，為理解數(shù)學(xué)知識的本源筑起有力橋梁。 四、結(jié)語 路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，一線教師應(yīng)定期審視自己的教學(xué)，及時總結(jié)反思，可將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何問題，并借助可實施的路徑來引導(dǎo)學(xué)生主動思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀直覺，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，努力培養(yǎng)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界的兒童。