<p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> </span><b style="font-size:22px;">段 落</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 簡(jiǎn)介</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 一，歐拉定理</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 二，歐拉定理充要條件的證明</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 三，一筆畫實(shí)踐</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 1. 奇點(diǎn)數(shù)＝0 情形</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 2. 奇點(diǎn)數(shù)＝2 情形</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 3. 奇點(diǎn)數(shù)＝4 情形</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 四，幾何中的歐拉定理</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 視頻《圖計(jì)算技術(shù)》</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 視頻《一筆畫問題本質(zhì)》</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> </b> <b style="font-size:20px;">五，無提示一筆畫試題</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 編后語</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 簡(jiǎn) 介</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">一筆畫圖形現(xiàn)在也是考察時(shí)概率比較高的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，大多數(shù)考生對(duì)此知識(shí)點(diǎn)了解的不是很透徹，筆者跟讀者一起邊學(xué)習(xí)邊實(shí)踐，共同來解決這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">一筆畫圖形就是一筆落下去沒有斷點(diǎn)。圖形中的線段可以是直線或曲線，簡(jiǎn)稱為邊。圖形中的頂點(diǎn)可以是端點(diǎn)或交點(diǎn)。畫筆行進(jìn)時(shí)允許重復(fù)通過交點(diǎn)，但不能重復(fù)通過圖形中的任何邊。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">對(duì)于簡(jiǎn)單的圖形我們可以采取勾畫的方法來判定圖形是否為一筆畫圖形，對(duì)于復(fù)雜的圖形我們只要掌握兩個(gè)要素就可以，即連通和奇點(diǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">連通就是沒有斷點(diǎn)是一筆畫的必要條件。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">稱與一個(gè)頂點(diǎn)連接的邊的條數(shù)為該頂點(diǎn)的度數(shù)。稱度數(shù)為奇數(shù)的頂點(diǎn)為奇點(diǎn)；稱度數(shù)為偶數(shù)的點(diǎn)為偶點(diǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">注意，一條直線或曲線從圖形中的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)射出時(shí)，這表明該頂點(diǎn)與1條邊連接；一條直線或曲線通過圖形中的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，既使沒成折線，這也表明該頂點(diǎn)與2條邊連接。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"><span class="ql-cursor">?</span></b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">? 萊昂哈德 ? 歐拉（L.Euler. 1707.4.15-1783.9.18）是瑞士著名的數(shù)學(xué)家，以及史上最高產(chǎn)的作家。其著作幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支，數(shù)學(xué)中很多名詞都以歐拉的名字命名。他在物理、天文、建筑奇多個(gè)領(lǐng)域部取得了非凡的成績(jī)，是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一。而哥尼斯堡七橋問題與多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問題。歐拉在處理哥尼斯堡七橋問題時(shí)，非常巧妙的把七橋這個(gè)實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化抽象成了合適的數(shù)學(xué)模型。他從拓?fù)鋵W(xué)的思維為出發(fā)點(diǎn)，不考慮事物實(shí)際的大小和形狀，用點(diǎn)代表事物，用連接兩點(diǎn)的線表示相應(yīng)兩個(gè)事物間所具有的關(guān)系。開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的新分支一一圖論。延伸出一筆畫游戲的一般規(guī)律，歐拉定理給出了一筆畫能否可行的判別準(zhǔn)則：一個(gè)連通圖可以一筆畫成當(dāng)且僅當(dāng)圖中奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或2?。根據(jù)歐拉的理論人們?cè)谔幚韱栴}時(shí)，可以將問題一般化。隨著互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展，更是發(fā)展出了圖計(jì)算技術(shù)等。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 一，歐拉定理</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">歐拉定理將一筆畫問題轉(zhuǎn)化為對(duì)圖形頂點(diǎn)奇點(diǎn)數(shù)(奇點(diǎn)個(gè)數(shù))的分析，具體分為三種情況：??</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?(1) 奇點(diǎn)數(shù)為0?：圖中所有頂點(diǎn)均為偶點(diǎn)。此時(shí)圖形可一筆畫成，且起點(diǎn)和終點(diǎn)可為任意一點(diǎn)，甚至可形成閉合回路（如圓形或矩形），簡(jiǎn)稱為歐拉圖。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?(2) 奇點(diǎn)數(shù)為2?：圖中僅有兩個(gè)奇點(diǎn)，其余均為偶點(diǎn)。此時(shí)圖形可一筆畫成，但必須從一個(gè)奇點(diǎn)出發(fā)，在另一個(gè)奇點(diǎn)結(jié)束，簡(jiǎn)稱為半歐拉圖</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(3) 奇點(diǎn)數(shù)大于2?：若奇點(diǎn)數(shù)為4、6等偶數(shù)個(gè)，圖形無法一筆畫成，所需筆畫數(shù)等于奇點(diǎn)數(shù)的一半（如4個(gè)奇點(diǎn)需2筆畫成，即原圖形為兩筆畫圖形）。??</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 二，歐拉定理充要條件的證明</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">必要性</b><b style="font-size:20px;">：“如果圖形可一筆畫成，則奇點(diǎn)數(shù)必為0或2”。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">假設(shè)圖形存在歐拉路徑，路徑經(jīng)過每個(gè)中間點(diǎn)時(shí)，線段有進(jìn)有出，進(jìn)入和離開該頂點(diǎn)的線段數(shù)必須相等（否則路徑無法連續(xù)）。因此，路徑中間點(diǎn)必為偶點(diǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">相比路徑中間點(diǎn)，因?yàn)槠瘘c(diǎn)多一條“離開”線段，終點(diǎn)多一條“進(jìn)入”線段，所以起點(diǎn)和終點(diǎn)（若不同）必為奇點(diǎn)。因此，若圖形是一個(gè)回路，則奇點(diǎn)數(shù)為 0， 若圖形是一個(gè)路徑，則奇點(diǎn)數(shù)為 2，否則路徑無法形成。??</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">充分性</b><b style="font-size:20px;">：“如果奇點(diǎn)數(shù)為 0 或 2，則圖可一筆畫成”。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(1) 當(dāng)奇點(diǎn)數(shù)為 0 時(shí)?：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從任意頂點(diǎn)出發(fā)，沿線段遍歷，每次進(jìn)入頂點(diǎn)后必能離開（因度數(shù)均為偶數(shù)），最終返回起點(diǎn)形成一個(gè)歐拉回路。??</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">若未遍歷所有線段，可在剩余連通子圖中重復(fù)上述過程，逐步合并回路直至覆蓋全部邊。??</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(2) 奇點(diǎn)數(shù)為 2 時(shí)?：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">把圖形中僅有的兩個(gè)奇點(diǎn)之間臨時(shí)連接一條線段，使所有頂點(diǎn)都為偶點(diǎn)，即奇點(diǎn)數(shù)為0，如上述，此時(shí)構(gòu)造了一個(gè)歐拉回路。??</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">移除臨時(shí)線段，歐拉回路即轉(zhuǎn)化為以兩個(gè)奇點(diǎn)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)的歐拉路徑。??</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 三，一筆畫實(shí)踐</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">1. 奇點(diǎn)數(shù)＝0 情形</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【例題1】 三個(gè)三角形重疊</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【解】 有24種不同路徑的一筆畫：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(1) 從頂點(diǎn)1 (起點(diǎn)，偶點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→2→3→4→5→1→6→7→2</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→8→9→3→1 (終點(diǎn)，亦起點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">也可以用左旋路徑替換右旋路徑，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共2種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(2) 起點(diǎn)也可以用頂點(diǎn)2，重復(fù)(1)段中右旋和左旋方式，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共2種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(3) 起點(diǎn)也可以用頂點(diǎn)3，重復(fù)(1)段中右旋和左旋方式，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共2種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(4) 從頂點(diǎn)4 (起點(diǎn)，偶點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→5→1→6→7→2→8→9</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(先外圈右旋)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→3→2→1→3→4 (終點(diǎn)，亦起點(diǎn))，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(內(nèi)圈左旋，也可內(nèi)圈右旋)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">也可以從頂點(diǎn)4 (起點(diǎn)，偶點(diǎn))出發(fā)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→3→9→8→2→7→6</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(先外圈右旋)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→1→2→3→1→5→4</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(再內(nèi)圈右旋)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共3種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(5) 對(duì)頂點(diǎn)5，6，7，8，9，當(dāng)它們作為起點(diǎn)時(shí)，可以重復(fù)第(4)段的步驟完成一筆畫，共計(jì)有3×5=15種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">綜合第(1–5)段，總共有</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 2+2+2+3+15=24 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">不同路徑一筆畫。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【習(xí)題1】劃出下面正方形重疊圖形的一筆畫的起點(diǎn)、終點(diǎn)和路徑，共有多少不同路徑的一筆畫?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">2. 奇點(diǎn)數(shù)＝2情形</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【例題2.1】曲線直線型混合奇點(diǎn)：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"><span class="ql-cursor">?</span></b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【解】有4種不同路徑的一筆畫：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(1) 從頂點(diǎn)A(奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">沿大圓右旋一周回到點(diǎn)A→c</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(沿小圓右旋(也可左旋)一周回到點(diǎn)c)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→B到達(dá)終點(diǎn)B(奇點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共2種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(2) 從頂點(diǎn)B(奇點(diǎn))出發(fā)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">沿大圓右旋一周回到點(diǎn)B→c</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(沿小圓右旋(也可左旋)一周回到點(diǎn)c)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→A到達(dá)終點(diǎn)A(奇點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共2種不同路徑一筆畫。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">因此總共有4種不同途徑的一筆畫。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【例題2.2】直線型奇點(diǎn)：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"><span class="ql-cursor">?</span></b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【解】有8種不同路徑的一筆畫：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(1) 從頂點(diǎn)A(奇點(diǎn))出發(fā)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→a→b→c→a</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(沿三角形 abc 邊界右旋一周 (也可左旋) )</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→d→c→B→d</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(沿三角形 dcB 邊界右旋一周 (也可左旋)) </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→A→B 到達(dá)終點(diǎn)B(奇點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共4種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(2) 從頂點(diǎn)B(奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→c→b→a→c</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(沿三角形 abc 邊界右旋一周 (也可左旋)) </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→d→a→A→d</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(沿三形形 daA 邊界右旋一周 (也可左旋))</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> →B→A 到達(dá)終點(diǎn)A(奇點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共4種不同路徑一筆畫。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">因此總共有8種不同途徑的一筆畫。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【例題2.3】奇點(diǎn)是兩個(gè)端點(diǎn)：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"><span class="ql-cursor">?</span></b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【解】有4種不同路徑的一筆畫：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(1) 從頂點(diǎn)A(奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→a→b→c→d→e→f→a</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(沿矩形邊界右旋一周(也可左旋)回到a)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→d→B到達(dá)終點(diǎn)B(奇點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共2種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(2) 從頂點(diǎn)B(奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→d→e→f→a→b→c→d</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(沿矩形邊界右旋一周(也可左旋)回到d)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→a→A→回到終點(diǎn)A(奇點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共2種不同路徑一筆畫。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">因此總共有4種不同途徑的一筆畫。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【例題2.4】曲線直線型混合奇點(diǎn)：</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【解】有16種不同路徑的一筆畫：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(1) 從頂點(diǎn)A(奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→ 沿圓周繞一圈(左旋和右旋2種) 回到A→B→a</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→沿圓周繞一圈(左旋和右旋2種)回到a</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→b→c→d→e→f→B到達(dá)終點(diǎn)B(奇點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共4種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(2) 從頂點(diǎn)A(奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→ 沿圓周繞一圈(左旋和右旋2種) 回到A→B→f→e→d→c→b→a</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→沿圓周繞一圈(左旋和右旋2種)回到a→B到達(dá)終點(diǎn)B(奇點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共4種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(3) 從頂點(diǎn)B(奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→a→沿圓周繞一圈(左旋和右旋2種)回到a→b→c→d→e→f→B→A</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→沿圓周繞一圈(左旋和右旋2種)回到終點(diǎn)A(奇點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共4種不同路徑一筆畫；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(4) 從頂點(diǎn)B(奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→f→e→d→c→b→a</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→沿圓周繞一圈(左旋和右旋2種)回到a</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→B→A</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"><span class="ql-cursor">?</span>→沿圓周繞一圈(左旋和右旋2種)回到終點(diǎn)A(奇點(diǎn))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共4種不同路徑一筆畫。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">總此總共有16種不同途徑的一筆畫。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?【習(xí)題2.1】劃出下面圖形的一筆畫的起點(diǎn)、終點(diǎn)和路徑，共有多少不同路徑的一筆畫？</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?【習(xí)題2.2】劃出下面兩個(gè)圖形的一筆畫的起點(diǎn)、終點(diǎn)和路徑，共有多少不同路徑的一筆畫？</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">3. 奇點(diǎn)數(shù)＝4 情形</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【例題3】哥尼斯堡七座橋問題</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">七座橋示意圖?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">七座橋簡(jiǎn)圖：行人從某陸地出發(fā)，不重復(fù)地通過七座橋，再返回原地?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">歐拉發(fā)現(xiàn)，因?yàn)楫?dāng)從一個(gè)陸地通過一座橋進(jìn)入另一個(gè)陸地之后，就必然需要另一座橋來離開這個(gè)陸地，所以，想要不重復(fù)不遺漏的走完所有的橋，每個(gè)陸地與其他陸地連接的橋數(shù)必須是偶數(shù)。在起點(diǎn)處(某陸地上的某一點(diǎn))，離開起點(diǎn)的橋和回到起點(diǎn)的橋也是對(duì)應(yīng)的。七橋問題明顯不滿是上面這個(gè)條件，一筆畫無解。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">實(shí)際上，哥尼斯堡的七座橋?qū)?yīng)圖形有4個(gè)奇點(diǎn)，根據(jù)歐拉定理，需要兩筆畫才能畫成，這驗(yàn)證了歐拉定理的實(shí)用性。</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">七座橋抽象圖(橋頭共處陸地抽象成一個(gè)點(diǎn))，??分四種情形考慮：</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(1) 陸地B為起點(diǎn)和終點(diǎn)?</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【解】有4 種不同路徑的兩筆畫成：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">第一筆：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地B(起點(diǎn)，奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋c→陸地C→橋e→陸地D</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋f→陸地A→橋g</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(通過f和g的次序可以對(duì)調(diào))</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→陸地A→橋a→陸地B (終點(diǎn)，亦起點(diǎn))</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這一筆通過5座橋c，e，f，g，a，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">有2種不同路徑。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">第二筆：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地B 再出發(fā)→橋b→陸地D</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋d→陸地C (終止)，也可改為</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地C再出發(fā)→橋d→陸地D</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋b→陸地C (終止)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這一筆通過2座橋b，d，有2種不同路徑。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">用這兩筆分兩次不重復(fù)地通過 7座橋，允許重復(fù)通過陸地，其中一筆不通過起點(diǎn)或終點(diǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">因此總共有4 種不同途徑的兩筆畫。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(2) 陸地A為起點(diǎn)和終點(diǎn)?</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【解】有4種不同路徑的兩筆畫成：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">第一筆：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地A(起點(diǎn)，奇點(diǎn))出發(fā)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋a→陸地B→橋c→陸地C</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋e→陸地D→橋f→陸地A→橋g→陸地A(終點(diǎn)，同起點(diǎn))</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(通過f和g的次序可以對(duì)調(diào))</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這一筆通過5座橋a,c,e,f,g，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">有2種不同路徑。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">第二筆：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地C出發(fā)→橋d→陸地D</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋b→陸地B(終止)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">也可改為</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地B出發(fā)→橋b→陸地D</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋d→陸地C(終止)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這一筆通過2座橋b，d，有2種不同路徑。</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">用這兩筆分兩次不重復(fù)地通過 7座橋，允許重復(fù)通過陸地，其中一筆不通過起點(diǎn)和終點(diǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">因此總共有4 種不同途徑的兩筆畫。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(3) 陸地C為起點(diǎn)和終點(diǎn)?</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【解】有4種不同路徑的兩筆畫成：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">第一筆：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地C(起點(diǎn)，奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋c→陸地B→橋a→陸地A</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋f→陸地D→橋e→陸地C→橋d→陸地C(終點(diǎn)，同起點(diǎn))</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(通過e和d的次序可以對(duì)調(diào))</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這一筆通過5座橋a,c,e,d,f，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">有2種不同路徑。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">第二筆：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地A出發(fā)→橋g→陸地D</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋b→陸地B(終止)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">也可改為</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地B出發(fā)→橋b→陸地D</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋g→陸地A(終止)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這一筆通過2座橋b，g，有2種不同路徑。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">用這兩筆分兩次不重復(fù)地通過 7座橋，允許重復(fù)通過陸地，其中一筆不通過起點(diǎn)和終點(diǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">因此總共有4 種不同途徑的兩筆畫。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(4) 陸地D為僅為起點(diǎn)?</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【解】有4種不同路徑的兩筆畫成：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">第一筆：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地D(起點(diǎn)，奇點(diǎn))出發(fā)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋f→陸地A→橋a→陸地B</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋c→陸地C→橋e→陸地D→橋d→陸地C(非終點(diǎn))</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(通過e和d的次序可以對(duì)調(diào))</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這一筆通過5座橋a,c,d,e,f，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">有2種不同路徑。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">第二筆：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地B出發(fā)→橋b→陸地D</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋g→陸地A(非終點(diǎn))，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">也可改為</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從陸地A出發(fā)→橋g→陸地D</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">→橋b→陸地B(終止)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這一筆通過2座橋b，g，有2種不同路徑。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">用這兩筆分兩次不重復(fù)地通過 7座橋，允許重復(fù)通過陸地。但起點(diǎn)與終點(diǎn)不在同一個(gè)陸地。因此總共有4種不同途徑的兩筆畫。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【習(xí)題3】劃出下面紙飛機(jī)圖形的兩筆畫的起點(diǎn)、終點(diǎn)和路徑，共有多少不同路徑的兩筆畫？</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 四，幾何中的歐拉定理</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?</b><b style="font-size:22px;">多面體歐拉定理?：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">對(duì)于簡(jiǎn)單凸多面體（可連續(xù)變形為球面的多面體），其頂點(diǎn)數(shù) ( V )、棱數(shù) ( E )、面數(shù) ( F ) 滿足 ( V - E + F = 2 )。例如，?立方體有 8 個(gè)頂點(diǎn)、12 條棱、6 個(gè)面，代入公式得 ( 8 - 12 + 6 = 2 )。??</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">??平面圖歐拉定理?：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">對(duì)平面連通圖，頂點(diǎn)數(shù) ( V )、邊數(shù) ( E )、面數(shù) ( F ) 同樣滿足 ( V - E + F = 2 )。該定理為拓?fù)鋵W(xué)奠定基礎(chǔ)，用于研究圖形在連續(xù)變形下的不變性質(zhì)。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 點(diǎn)擊播放視頻(橫屏)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 《圖計(jì)算技術(shù)》</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">歐拉定理將幾何問題抽象為圖論模型，奠定了拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。其本質(zhì)是要求路徑經(jīng)過每個(gè)頂點(diǎn)時(shí)“有來必有去”，因此奇點(diǎn)只能作為路徑的起點(diǎn)或終點(diǎn)。這一原理不僅用于圖形判斷，還廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、電路規(guī)劃等領(lǐng)域。??</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 點(diǎn)擊播放視頻(橫屏)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 《一筆畫問題本質(zhì)》</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> </b><b style="font-size:22px;">五，無提示一筆畫試題</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">有興趣的讀者可嘗試，從下面30 個(gè)試題中，由簡(jiǎn)到繁選題，先判斷一筆畫圖形中的奇點(diǎn)數(shù)和偶點(diǎn)數(shù)，再判定是否一筆畫可行，是起點(diǎn)與終點(diǎn)分離還是重合，如果一筆畫不可行，那需要幾筆才能完成多筆畫？最后操筆一路前行給出答案。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> </b><b style="font-size:22px;"> 編后語</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">本文內(nèi)容摘自網(wǎng)絡(luò)，文中例題和七座橋問題等部分是由筆者思考實(shí)踐列出解答，文中還列出少許習(xí)題供讀者動(dòng)腦動(dòng)手，邊學(xué)邊干，擴(kuò)展知識(shí)點(diǎn)。如果讀者想要更多的實(shí)踐，可以在網(wǎng)上搜到更多的一筆要智力游戲，但大都是結(jié)果失敗，沒給出正確解法，本文末尾列出一些無任何標(biāo)記的一筆畫圖形，讀者可大有用武之地。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">由于本文內(nèi)容較雜亂，符號(hào)較多，存在的錯(cuò)誤和筆誤，請(qǐng)讀者批評(píng)指正，謝謝！</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 筆者</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p>