<p class="ql-block"><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">種線得線，定角、定比、定軌跡和主動從動身影伴，定比定角定點(diǎn)轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)完直連從動點(diǎn)，此時(shí)從動軌跡現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)邊角多相等，相似全等答案成。</b></p> <p class="ql-block">利用“主動點(diǎn)的起點(diǎn)、終點(diǎn)、定點(diǎn)組成的三角形與從動點(diǎn)的起點(diǎn)、終點(diǎn)、定點(diǎn)組成的三角形相似(或全等)”及“主動點(diǎn)運(yùn)動軌跡與從動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡的夾角(銳角)等于主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角求解；模型證明</p><p class="ql-block">情況1：種線得線</p><p class="ql-block">如圖，動點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動，點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)Q為另一動點(diǎn)，且滿足條件:</p><p class="ql-block">①∠PAQ是定值</p><p class="ql-block">②AP:AQ是定值</p><p class="ql-block">則動點(diǎn)Q的軌跡與動點(diǎn)P的軌跡一致，即點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動則點(diǎn)Q在另一線段MN上運(yùn)動,</p><p class="ql-block">且△BAC∽△ MAN.</p> <p class="ql-block">證明：∵∠ABM=∠CAN=α</p><p class="ql-block">∴∠BAC=∠MAN</p><p class="ql-block">∵AB:AM=AC:AN</p><p class="ql-block">∴△BAC∽△ MAN（SAS）</p><p class="ql-block">∴∠ACB=∠ANM</p><p class="ql-block">∴∠NEC=∠CAN=α</p><p class="ql-block">∴點(diǎn)Q在線段MN上運(yùn)動</p><p class="ql-block">情況2：種圓得圓</p><p class="ql-block">已知點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動，AP：AQ=√2:1，∠PAQ=45°，則點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡。</p><p class="ql-block">證明：如圖：連接AM,PM將PAM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，并縮小為原來的√2/2，得到AN，連接NQ</p> <p class="ql-block">∵AP：AQ=√2:1，∠PAQ=45°</p><p class="ql-block">∴∠MAP=∠NAQ</p><p class="ql-block">∴△MAP∽△NAQ（SAS）</p><p class="ql-block">∴MP=√2NQ</p><p class="ql-block">∴NQ是定值，點(diǎn)N是定點(diǎn)</p><p class="ql-block">∴點(diǎn)P在以點(diǎn)N為圓心，NQ為半徑的圓上運(yùn)動</p><p class="ql-block">綜上所述：滿足兩動一定，定角，定比三個特點(diǎn)的模型即為瓜豆原理。（選填題無需證明）</p><p class="ql-block">典型題：</p><p class="ql-block">如圖，正方形ABCD中，AB=2√5，點(diǎn)O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，OE=2,連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DF連接AE，CF,則線段OF的最小值為_________</p> <p class="ql-block">分析：①主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角為定值,即∠EDF=90°（定角）</p><p class="ql-block">②主、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定值ED:FD=1:1（定比）</p><p class="ql-block">兩動一定+定角+定比三要素齊全，種圓得圓</p><p class="ql-block">解：輔助線如圖所示，對于填空題，直接得結(jié)論計(jì)算即可</p> <p class="ql-block">易得：△DOO’為等腰直角三角形</p><p class="ql-block">當(dāng)點(diǎn)O,F,O’三點(diǎn)共線時(shí)，OF最小</p><p class="ql-block">∴OO’=√2OD=5√2</p><p class="ql-block">∴OF最小=5√2-2</p><p class="ql-block">∴OF最小值為5√2-2</p><p class="ql-block">思考題：（可在評論區(qū)打出答案）</p><p class="ql-block">思考1：如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=6，∠DAC=60°，點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE,點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，則點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長是_______________</p> <p class="ql-block">思考2：如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=16，BC=12,點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動，</p><p class="ql-block">由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A.連接CP，點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長為___________</p>