<p class="ql-block" style="text-align:center;"><b>現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石—李理論</b></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251);">李理論</span>（Lie theory），命名自19世紀(jì)的挪威數(shù)學(xué)家索菲斯·李，是數(shù)學(xué)和物理學(xué)中一個(gè)極其重要且廣泛應(yīng)用的理論，其根本概念是<span style="color:rgb(22, 126, 251);">李群</span>和<span style="color:rgb(22, 126, 251);">李代數(shù)</span>。這個(gè)理論提供了一個(gè)強(qiáng)大的框架，用于描述<span style="color:rgb(22, 126, 251);">對(duì)稱性</span>和<span style="color:rgb(22, 126, 251);">連續(xù)變換</span>，因此在許多科學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，包括量子力學(xué)、粒子物理、晶體學(xué)和機(jī)器人學(xué)。</p><p class="ql-block">在谷歌中搜索“李理論”，會(huì)出現(xiàn)圖片：</p> <p class="ql-block">它使得該理論看起來比實(shí)際上更難。然而，如果熟悉復(fù)數(shù)，那么已經(jīng)遇到了一個(gè)例子，那就是那些于模為1的復(fù)數(shù)，你的本能反應(yīng)可能是將這些數(shù)字視為 e^(i θ)：</p> <p class="ql-block">如果更深入地思考，實(shí)際上是在這個(gè)復(fù)數(shù)圓上施加了一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，例如，我們可以說這一點(diǎn)是 e^(i * 0.7π)：</p> <p class="ql-block">這個(gè)圓是所謂的李群（Lie group）的一個(gè)例子。但一般來說，它可以是更高維的，更難以可視化的。李理論的精髓是，即使在這些復(fù)雜的情況下，也要盡量施加一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，使其更容易處理。</p><p class="ql-block">讓我們稍微詳細(xì)地闡述李理論，從李群開始。<span style="color:rgb(22, 126, 251);">李群同時(shí)是兩個(gè)東西，它是一個(gè)群，但也是一個(gè)流形</span>。</p> <p class="ql-block"><b>李群-群</b></p><p class="ql-block">首先讓我們了解一下什么是群，因?yàn)樗且粋€(gè)更容易的概念。</p><p class="ql-block">群基本上是一組滿足某些屬性的對(duì)象，使它們看起來具有對(duì)稱性。我們期望對(duì)稱性滿足的第一個(gè)屬性是封閉性。以正三角形的對(duì)稱性G為例，我們將 h 表示為沿斜軸的反射對(duì)稱性，g 表示為沿垂直軸的另一個(gè)反射對(duì)稱性，那么將 g · h 定義為函數(shù)組合，即首先做 h，然后做 g。事實(shí)證明，g 和 h 組合是一個(gè)旋轉(zhuǎn)。結(jié)果不重要，重要的是結(jié)果仍然是一個(gè)對(duì)稱性，因此它仍然在 G 中。</p> <p class="ql-block">但為了使這個(gè)公理成立，我們需要對(duì)每對(duì) g 和 h 都證明這一點(diǎn)。你可以逐個(gè)驗(yàn)證這個(gè)情況，但根據(jù)定義，對(duì)稱性是任何保持對(duì)象不變的變換。所以如果 g 和 h 是對(duì)稱的，它們保持對(duì)象不變，那么當(dāng)然，先做 h 然后做 g 也會(huì)保持對(duì)象不變，因此也是一個(gè)對(duì)稱性。</p><p class="ql-block">對(duì)稱性還遵循一些其他屬性，如“結(jié)合律”：</p> <p class="ql-block">如存在一個(gè)恒等元：</p> <p class="ql-block">最后，對(duì)稱性都有一個(gè)逆：</p> <p class="ql-block">如果一組對(duì)象滿足這4個(gè)條件，它就構(gòu)成一個(gè)群。一個(gè)對(duì)象的對(duì)稱性自然地形成一個(gè)群。如果給定一組數(shù)字或矩陣，比如一開始的復(fù)數(shù)單位圓，檢查該集合是否滿足這些屬性是很有必要的。在這種情況下，你只需要使用模數(shù)相乘，甚至不需要用歐拉公式，</p> <p class="ql-block">當(dāng)然，不僅僅是這個(gè)圓形成了一個(gè)群。旋轉(zhuǎn)矩陣的集合，正交或酉矩陣都是群，</p> <p class="ql-block">如果你對(duì)群不太熟悉，我強(qiáng)烈建議你對(duì)這些集合的群公理進(jìn)行補(bǔ)習(xí)。你所需要的只是轉(zhuǎn)置、伴隨和行列式的一些其他屬性，</p> <p class="ql-block">總之，群只是李理論的一部分。李群也是流形，那么什么是流形呢？讓我們通過一個(gè)例子來理解：復(fù)數(shù)的圓。</p> <p class="ql-block">這個(gè)圓是流形，意思是在它上面的每一點(diǎn)，其鄰域基本上看起來像一條線，只是變形了。讓我們放大這一點(diǎn)的鄰域。</p> <p class="ql-block">在圓的情況下，這是一個(gè)弧，可以平滑地變形為直線。</p> <p class="ql-block">但同樣重要的是，這條線也可以平滑地變回弧。這種雙向變形就是我所說的“看起來像一條線”。當(dāng)然，不僅僅是圓上的這一特定點(diǎn)。每個(gè)點(diǎn)都有這樣的屬性，即鄰域看起來像一條線。這就是我們稱<span style="color:rgb(22, 126, 251);">圓為一維流形</span>（1-dimensional manifold）的原因。</p><p class="ql-block">但是還有更高維的流形，道理是一樣的。</p> <p class="ql-block">只是任何點(diǎn)的鄰域不再看起來像一條線，而是（在這個(gè)圓環(huán)的情況下）看起來像一個(gè)平面。所以，一個(gè)圓環(huán)的表面是一個(gè)<span style="color:rgb(22, 126, 251);">二維流形</span>。一個(gè)更奇特的例子是SO（3），三維的旋轉(zhuǎn)。SO（3）看起來像什么呢？</p> <p class="ql-block">對(duì)于三維旋轉(zhuǎn)，首先要指明旋轉(zhuǎn)軸，然后是繞這個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)角度θ。我們可以將這個(gè)特定的旋轉(zhuǎn)表示為流形上的一個(gè)點(diǎn)，球是一個(gè)實(shí)心球。球上的相應(yīng)點(diǎn)將沿著旋轉(zhuǎn)軸的某處。軸上的位置取決于繞這個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)角度。例如，這個(gè)軸上的點(diǎn)，從中心向上的θ單位，對(duì)應(yīng)于沿著這個(gè)軸的θ旋轉(zhuǎn)。至于方向，使用右手法則。所以這個(gè)點(diǎn)在中心上方，意味著使用右手法則的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。最后，我們將旋轉(zhuǎn)角限制為π，所以如果你的旋轉(zhuǎn)角超過π，那么就朝相反的方向旋轉(zhuǎn)。</p> <p class="ql-block">這就是我們可以從幾何上思考SO（3）的方式，但這是一個(gè)相當(dāng)奇怪的幾何圖形，因?yàn)檫@兩個(gè)相對(duì)的點(diǎn)實(shí)際上代表了相同的旋轉(zhuǎn)：</p> <p class="ql-block">畢竟，它們都代表了180度的順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。你可以把這兩個(gè)點(diǎn)看作是一個(gè)相通的門，當(dāng)你朝一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)得越來越多，而且超過了π，那么立即通過門繼續(xù)向上行進(jìn)。</p> <p class="ql-block">但這不僅僅是一對(duì)點(diǎn)，球的表面上的每一個(gè)地方都是一個(gè)門，只是旋轉(zhuǎn)軸不同。</p><p class="ql-block">如果聽起來很奇怪，那確實(shí)是奇怪的，但是，這仍然是一個(gè)流形，更具體地說是一個(gè)<span style="color:rgb(22, 126, 251);">三維流形</span>，這可以在更高的維度中正確地可視化，但必須在5維空間中才能做到這一點(diǎn)。總的來說，<span style="color:rgb(22, 126, 251);">一個(gè)n維流形意味著所有的鄰域都“看起來像”n維空間</span>。</p><p class="ql-block">李群同時(shí)是群和流形的整體思想意味著兩件事：首先，我們不必把這些SO(n)(<span style="color:rgb(22, 126, 251);">正交群</span>)和SU(n)(<span style="color:rgb(22, 126, 251);">酉群</span>)純粹地看作一堆矩陣，我們可以<span style="color:rgb(22, 126, 251);">幾何地思考</span>它們，盡管在更高維的旋轉(zhuǎn)中，它變得不那么可視化。其次，在這兩者的交叉口，我們可以使用群論的工具和微分幾何的工具（這是流形的研究）來研究它們。李首先將李群視為流形。</p><p class="ql-block"><b>李代數(shù)</b></p><p class="ql-block">地球的表面是流形的另一個(gè)例子，雖然地球的表面是彎曲的，但是我們可以通過<span style="color:rgb(22, 126, 251);">施加一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)</span>（例如<span style="color:rgb(237, 35, 8);">經(jīng)緯度系統(tǒng)</span>）來制作一張平面的地圖。這樣，我們就可以將復(fù)雜的彎曲空間轉(zhuǎn)化為更容易處理的平面空間。這是一個(gè)將復(fù)雜的幾何對(duì)象（如地球表面）簡(jiǎn)化為我們可以更容易處理的對(duì)象（如地圖）的例子。</p> <p class="ql-block">李的思想是類似的。<span style="color:rgb(22, 126, 251);">李群是復(fù)雜的曲面流形</span>，同樣，我們要建立一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，一個(gè)平的空間來處理它，<span style="color:rgb(22, 126, 251);">那個(gè)平的空間就是</span><b style="color:rgb(22, 126, 251);">李代數(shù)</b>。讓我們用更多的細(xì)節(jié)說明這一點(diǎn)。在李群是復(fù)數(shù)圓的情況下，坐標(biāo)系統(tǒng)由1（恒等元）處的切線組成。</p> <p class="ql-block">它的工作原理是將切線向量與圓上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，這是非常自然的。如果向量的長(zhǎng)度是θ，那么我們將它對(duì)應(yīng)到李群上1處距離θ的一個(gè)點(diǎn)。</p> <p class="ql-block">實(shí)際上，這個(gè)向量可以被認(rèn)為是iθ，</p> <p class="ql-block">這是因?yàn)閺?fù)數(shù)不僅是平面上的一點(diǎn)，也可以被認(rèn)為是從原點(diǎn)到該點(diǎn)的一個(gè)向量，</p> <p class="ql-block">所以向上的向量對(duì)應(yīng)于純虛數(shù)，</p> <p class="ql-block">因此，這個(gè)向上的切線向量可以被認(rèn)為是iθ。但是我們說，作為一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，切線向量對(duì)應(yīng)于距離恒等元θ的一個(gè)點(diǎn)，你知道這個(gè)點(diǎn)是什么嗎？這正是</p> <p class="ql-block">這也與更一般的李群和李代數(shù)的非常相似。</p><p class="ql-block"><b>首先，有一個(gè)李群，我們想找到這個(gè)群的恒等元（即1）。一旦完成了這個(gè)任務(wù)，考慮恒等式處的切空間。這個(gè)平的空間是對(duì)應(yīng)的李群的李代數(shù)。</b></p> <p class="ql-block">李代數(shù)作為坐標(biāo)系統(tǒng)的工作原理是使切空間（即1處的切線）上的切線向量“包裝”在李群上，然后取端點(diǎn)。</p> <p class="ql-block">這種<span style="color:rgb(176, 79, 187);">將切線向量對(duì)應(yīng)到流形上的點(diǎn)的“包裝”動(dòng)作</span>稱為<span style="color:rgb(22, 126, 251);">指數(shù)映射</span>（exponential map）。在這個(gè)特定的情況下，向量iθ被包裝到李群上的e^(iθ)，所以它實(shí)際上是一個(gè)指數(shù)映射。</p> <p class="ql-block">但這種指數(shù)映射的概念適用于一般的流形，而不僅僅是李群。</p><p class="ql-block">換句話說，即使對(duì)于一般的流形，將切空間上的切線向量映射到流形上的點(diǎn)的動(dòng)作仍然被稱為指數(shù)映射，理想情況下，我們希望只使用平的空間，因?yàn)樗葟澢膶?duì)象更容易處理。</p><p class="ql-block">這個(gè)指數(shù)映射，或者實(shí)際上，其逆映射，或?qū)?shù)映射，將把流形上的一點(diǎn)還原到平坦空間上的一個(gè)切線向量。所以，這是理解李群的第一步。把它當(dāng)作流形，我們想要把李群還原為李代數(shù)，通過對(duì)數(shù)映射，將恒等元處的切空間還原。</p> <p class="ql-block">但是，如果我們把李群當(dāng)作群，會(huì)怎樣呢？群公理告訴我們?nèi)涸睾忘c(diǎn)乘應(yīng)滿足哪些條件，</p> <p class="ql-block">所以我們關(guān)心這樣一個(gè)群的乘法是如何運(yùn)算的。</p><p class="ql-block">舉例來說，有一個(gè)李群，其恒等元用紅點(diǎn)表示，對(duì)應(yīng)的李代數(shù)，是恒等元處的切空間。中間的紅點(diǎn)對(duì)應(yīng)于李群上的恒等元。</p> <p class="ql-block">讓我們考慮一對(duì)元素g，h，以及它們的乘積g·h。我們可以用<span style="color:rgb(22, 126, 251);">對(duì)數(shù)映射</span>將所有這些點(diǎn)還原到平坦空間上的切線向量，</p> <p class="ql-block">該映射將所有這些點(diǎn)還原到平坦空間上的切線向量?，F(xiàn)在，如果只有對(duì)應(yīng)于g和h的這些切線向量，能否不參考李群，就能確定對(duì)應(yīng)于g·h的切線向量呢？</p> <p class="ql-block">一個(gè)天真的猜測(cè)可能是</p> <p class="ql-block">但這些g和h是矩陣，它們的乘法方式與數(shù)字不同。</p><p class="ql-block">然而，實(shí)際上存在一個(gè)公式。如果用X表示log g，用Y表示log h，用Z表示log (g·h)，那么Z可以作為無窮級(jí)數(shù)</p> <p class="ql-block">這看起來令人生畏，但可以分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的操作：首先，加法或減法。這正是那些切線向量的加法或減法。其次，這些方括號(hào)，被稱為<span style="color:rgb(22, 126, 251);">李括號(hào)</span>（Lie brackets）。目前，你可以將它們視為將兩個(gè)切線向量變?yōu)榱硪粋€(gè)切線向量的簡(jiǎn)單但特定的操作。因此，如果我們還知道李括號(hào)，那么就知道對(duì)應(yīng)于g·h的切線向量。這個(gè)公式，稱為Baker-Campbell-Hausdorff公式，簡(jiǎn)稱<span style="color:rgb(22, 126, 251);">BCH公式</span>，使我們能夠完全<span style="color:rgb(237, 35, 8);">在李代數(shù)上復(fù)制群乘法</span>。所以，<span style="color:rgb(237, 35, 8);">我們可以只在李代數(shù)上運(yùn)算，而不是在彎曲的空間上</span>。</p><p class="ql-block">現(xiàn)在，<b>在李群上，群公理告訴我們乘法應(yīng)該滿足什么，而在李代數(shù)上，李括號(hào)也會(huì)相應(yīng)地滿足一些性質(zhì)。</b></p> <p class="ql-block">目前，這些性質(zhì)的細(xì)節(jié)不重要，但要知道，這些李括號(hào)的性質(zhì)通常來自于李群中的乘法性質(zhì)。識(shí)別這些性質(zhì)是完全放棄李群，只關(guān)注李代數(shù)的另一步。因此，盡管我們?cè)鞠胙芯坷钊海ㄒ驗(yàn)樗且粋€(gè)更通用的結(jié)構(gòu)），但我們可以轉(zhuǎn)而研究李代數(shù)，因?yàn)槔畲鷶?shù)包含了李群的所有重要信息，而且它是一個(gè)更簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)。如今，大多數(shù)教科書<span style="color:rgb(22, 126, 251);">將李代數(shù)定義為一個(gè)具有滿足所有這些性質(zhì)的李括號(hào)的向量空間</span>，但應(yīng)值得注意的是，這些李群是這些性質(zhì)的重要根源。</p><p class="ql-block"><b>李理論圖示</b></p><p class="ql-block">這引出這個(gè)被認(rèn)為代表李理論的圖示。</p> <p class="ql-block">這是什么呢？如果你聽說過怪獸群（monster group），它們概念是相似的。對(duì)于怪獸群，我們想要考慮有限群，有限集合G，</p> <p class="ql-block">這樣可以定義滿足這些公理的乘法。這些有限群可以分解為不同的構(gòu)建塊，被稱為<span style="color:rgb(22, 126, 251);">簡(jiǎn)單群</span>（simple groups）。</p> <p class="ql-block">這些簡(jiǎn)單群是有限群的原子，數(shù)學(xué)家想要對(duì)這些構(gòu)建塊進(jìn)行分類。有許多不同的機(jī)制可以產(chǎn)生無窮多的簡(jiǎn)單群。以相似方式產(chǎn)生的構(gòu)建塊被歸為一個(gè)<span style="color:rgb(22, 126, 251);">無窮族</span>（infinite families）。但是還有很多可能性，被稱為<span style="color:rgb(22, 126, 251);">“零星”群</span>（sporadic groups）。有26或27個(gè)，取決于你是否想將其中一個(gè)（構(gòu)建塊）計(jì)算在那些無限族中。</p> <p class="ql-block">順便說一句，這個(gè)構(gòu)建塊被稱為<span style="color:rgb(22, 126, 251);">蒂茨群</span>（Tis group），以法國(guó)數(shù)學(xué)家雅克·蒂茨命名。</p> <p class="ql-block">這有點(diǎn)離題，因?yàn)檫@些零星群的明星是怪獸群，到目前為止是最大的、最復(fù)雜的零星群（這26、27個(gè)零星群中的）。這個(gè)分類與對(duì)李代數(shù)的分類類似。類似于群的定義，李代數(shù)也有一個(gè)滿足某些性質(zhì)的李括號(hào)。只用這些性質(zhì)，我們想要對(duì)李代數(shù)的構(gòu)建塊進(jìn)行分類。類似于群的情況，這些簡(jiǎn)單李代數(shù)有無窮的族。這不像群，恰好只有4個(gè)，分別標(biāo)為A_n, B_n, C_n和D_n。除了這些無限族外，還有恰好5個(gè)被遺漏的，被稱為<span style="color:rgb(22, 126, 251);">“例外”的李代數(shù)</span>，分別標(biāo)為E_6、E_7、E_8、F_4和G_2。</p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251);">E_8</span>是這五個(gè)中最復(fù)雜的，因此它在某種程度上是李代數(shù)中的怪獸群。這個(gè)特定的圖片是E_8的圖示描述：</p> <p class="ql-block">所以，即使想要研究李群，我們也要轉(zhuǎn)而研究李代數(shù)，因?yàn)樗行畔⒍急槐Ａ袅?，而且它們更容易研究?lt;/p> <p class="ql-block"><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tvh1sY1ErfuE-7huK8isUw" target="_blank">此文來自《老胡說科學(xué)》</a></p>