更相減損術(shù)剖析

蛇王天成

段落 一，更相減損術(shù)古文含義 1. 算法流程 2. 簡(jiǎn)單素?cái)?shù)的倍數(shù)判別法二，更相減損術(shù)正確性數(shù)學(xué)證明 1. 引理與定理 2. 示例驗(yàn)證 (輔助理解)三，輾轉(zhuǎn)相除法正確性數(shù)學(xué)證明 1. 算法流程 2. 引理與定理?四，更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法對(duì)比 1. 算法本質(zhì) 2. 效率差異 3. 核心思想五，價(jià)值觀的最大公約數(shù) 1. 習(xí)近平： 確立價(jià)值觀“最大公約數(shù)” 2. 從“最大公約數(shù)”話語(yǔ)看 中國(guó)共產(chǎn)黨人民至上的價(jià)值取向 3. 國(guó)家與國(guó)家之間要尋找 最大公約數(shù) 4. 真民主與最大公約數(shù) ? 一，更相減損術(shù)古文含義 《九章算術(shù)》的第一章方田中記載著約分術(shù)日：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。稱之為“更相減損術(shù)”，源于原文“以少減多，更相減損”。 1. 算法流程(1) 若有公約數(shù)2，則將2 約掉。(2)以大數(shù)(被減數(shù))減去小數(shù)(減數(shù))，得“損”（差）。 (3) 比較“損”與原減數(shù)的大小，重新確定下一步的被減數(shù)和減數(shù)（“更相”）。 (4) 重復(fù)直到兩數(shù)相等，此時(shí)該數(shù)即原兩數(shù)的最大公因子。 可進(jìn)一步體會(huì)“減”為動(dòng)作（減法）、“損”為結(jié)果（差）、“更相”為策略（交替調(diào)整）的完整邏輯。【例】求 98 和 63 的最大公約數(shù)： 陸續(xù)做減法 (大數(shù)減去小數(shù)) 98 - 63 = 35（損） 比較 63 和 35 63 - 35 = 28（損） 比較 35 和 28 35 - 28 = 7 （損） 比較 28 和 7 28 - 7 = 21 （損） → 更相：比較 21 和 7 21 - 7 = 14 （損） → 更相：比較 14 和 7 14 - 7 = 7 （損） → 兩數(shù)相等結(jié)果為 7。 因此98 和 63 的最大公約數(shù)為7。 2. 簡(jiǎn)單素?cái)?shù)的倍數(shù)判別法更相減損術(shù)算法一開始，要約去兩數(shù)的公約數(shù) 2，實(shí)際上，可以先約去簡(jiǎn)單的素因子的冪，這幾個(gè)素?cái)?shù)2，3，5，7，11，13的整數(shù)倍容易判別。(1) 2 的倍數(shù)：末位上是 0，2， 4， 6，8。(2) 3的倍數(shù)：各數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。(3) 5 的倍數(shù)：末位上是0 或5。(4) 7的倍數(shù)：可以通過以下簡(jiǎn)單步驟判斷： ?截尾法一?：?截去末位?：去掉原數(shù)的最后一位數(shù)字，得到剩余部分。?計(jì)算乘積?：將截去的末位數(shù)字乘以2。?相減?：用剩余部分減去這個(gè)乘積。?判斷結(jié)果?：若結(jié)果能被7整除（或繼續(xù)重復(fù)上述步驟直到能判斷），則原數(shù)為7的倍數(shù)。?【?例1?】判斷161是否為7的倍數(shù)。截去末位1，剩余16。1×2=2。16?2=14，14是7的倍數(shù)，因此161是7的倍數(shù)（7×23=161）。 【?例2?】判斷84是否為7的倍數(shù)。截去末位4，剩余8。4×2=8。8?8=0，0是7的倍數(shù)，因此84是7的倍數(shù)（7×12=84）。 ?截尾法二（另一種等價(jià)方式）?：?截去末位?：去掉原數(shù)的最后一位數(shù)字，得到剩余部分。?計(jì)算乘積?：將剩余部分乘以3。相加：再加上截去的末位數(shù)字。?判斷結(jié)果?：若結(jié)果能被7整除（或重復(fù)步驟），則原數(shù)為7的倍數(shù)。??【例】判斷196是否為7的倍數(shù)。截去末位6，剩余19。19×3=57，57+6=63。63是7的倍數(shù)（7×9=63），因此196是7的倍數(shù)（7×28=196）。這兩種方法均可快速判斷，選擇其中一種操作即可。(8) 11 的倍數(shù)：奇偶位差法：奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差是11 的倍數(shù)。(9) 7，11 或 13 的倍數(shù)：截末三位法：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)之差，能被7，11或13整除。 【例1】判斷12345是否為7的倍數(shù)。用截末三位法。末三位數(shù)為345末三位以前的數(shù)為12，相減：345–12＝333，判斷結(jié)果?：333不能被7整除，所以12345不是7的倍數(shù)。12345＝7×1863+4 【例2】判斷37895是否為11的倍數(shù)。用截末三位法。末三位數(shù)為895，末三位以前的數(shù)為37，相減：895–37＝858，判斷結(jié)果?：858能被11整除，所以37895是11的倍數(shù)。37895＝11×3445 二，更相減損術(shù)正確性數(shù)學(xué)證明 更相減損術(shù)算法的第一步是 A_3＝max (A_2，A_1–A_2)一般地，已經(jīng)更相 A_k＞A_(k+1)用下面公式求出下一個(gè)數(shù)，A_(k+2) ＝max (A_(k+1)，A_k–A_(k+1)) k＝1，2，3，… (1) 1. 引理與定理 【引理1】每次操作后，相鄰兩數(shù)之和至少減少 1 ，因此更相減損術(shù)算法必在有限步內(nèi)終止。【證明】由(1)式推出，若 A_k＜2 A_(k+1)，則 A_(k+2)＝A_(k+1)；若A_k > 2 A_(k+1)，則 A_(k+2)＝A_k–A_(k+1)。原相鄰兩數(shù)之和為 A_k＋A_(k+1)新相鄰兩數(shù)之和為 A_(k+1)+A_(k+2)＝ 2 A_(k+1) 或 A_k于是相鄰兩數(shù)之和的降低量為 A_(k+1) 或 A_k–A_(k+1)，它們都大于或等于1。因此這個(gè)正整數(shù)序列A_k，k＝1，2，… 必有限。假如相鄰兩數(shù)不等，永遠(yuǎn)是一個(gè)大數(shù)，一個(gè)小數(shù)，那么根據(jù)更相減損術(shù)算法 (1)，就可以無(wú)止境地計(jì)算出下一個(gè)正整數(shù)，如上所述，這是不可能發(fā)生的。 【引理2】對(duì)任意實(shí)數(shù)a 和 b，下面等式成立： max(a, b)= (a+b + |a-b|)/2式中 |a-b| 表示 a–b 的絕對(duì)值。不難證明，略。 【引理3】兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)(GCD)在減法操作中保持不變：若a > b，則 gcd(a, b) = gcd(b, a - b)【證明】(?)設(shè) d = gcd(a, b) ，由定義，d 能整除a 和 b ，即 d |a 且 d | b 。 因此，d 也能整除 a - b ，即 d | (a - b) 。 因?yàn)?d | b 且 d | (a - b) ，所以 d 是 b 和 a - b 的公約數(shù)。 進(jìn)而 d ≤ gcd(b, a - b)，即 gcd(a, b) ≤ gcd(b, a - b) (2)(?)設(shè) d' = gcd(b, a - b) ，同理，d' | b 且 d' | (a - b) 。 因此，d' | (b + (a - b))= a ，即 d' | a 。 所以 d' 是 a 和 b 的公約數(shù)。 進(jìn)而 d' ≤ gcd(a, b) ，即 gcd(b, a - b) ≤ gcd(a, b) (3)由(2)和(3)式得 gcd(b, a - b) ＝ gcd(a, b)證畢。 已知兩個(gè)正整數(shù)A_1，A_2，不妨假定A_1 > A_2，用更相減損術(shù)算法求A_1和A_2的最大公約數(shù)。 【定理】當(dāng)更相相減術(shù)算法計(jì)算法最終出現(xiàn)相鄰兩個(gè)數(shù)相等時(shí)(設(shè)為 K)， gcd(A_1，A_2) = K【證明】其最大公約數(shù)為 K 。 gcd(K, K) = K根據(jù)引理1 可知 gcd(A_1，A_2) = gcd(K, K) = K因此，算法輸出的 K 即為原兩數(shù)的最大公約數(shù)。于是根據(jù)引理2和式(1)可用下列遞推關(guān)系構(gòu)造嚴(yán)格遞降序A_(k)： A_(k+2) ＝(A_(k+1)+A_k–A_(k+1) +|A_(k+1)–A_k+A_(k+1)|)/2 k＝1，2，3，… (4)分三種不同情形處理：【情形1】若A_k ＜ 2 A_(k+1)，則由(4)式可知 A_(k+2) ＝(A_(k+1)+A_k–A_(k+1) +|A_(k+1)–A_k+A_(k+1)|)/2 ＝(A_(k+1)+A_k–A_(k+1) +A_(k+1)–A_k+A_(k+1))/2 ＝A_(k+1)【情形2】若對(duì)某正整數(shù)k，m，m ≥ 2，有 A_k > m A_(k+1)，則由(4)式可知 A_(k+2)＝A_k–A_(k+1) > m A_(k+1)–A_(k+1) ＝(m–1) A_(k+1) ≥ A_(k+1)這時(shí)需把A_(k+2) 和A_(k+1) 次序?qū)φ{(diào)，以確保正整數(shù)序列嚴(yán)格遞減。【情形3】若 A_k＝2 A_(k+1)，則根據(jù)(1)式 A_(k+2)＝ max (A_(k+1)，A_k–A_(k+1))計(jì)算得 A_(k+2)＝A_(k+1)，記作K。這時(shí)兩個(gè)相同的數(shù)出現(xiàn)。根據(jù)上述定理，K就是數(shù)A_1 和 A_2 的最大公約數(shù)。 2. 示例驗(yàn)證 (輔助理解) 【例1】求 A_1 = 2419，A_2 = 1711 的最大公約數(shù)。【解】2419–1711＝708gcd(2419，1711) = gcd(1711，708)(按情況1處理) 1711–708＝1003gcd(1711，708) = gcd(1003，708)(按情況2處理) 更相 1003–708＝295gcd(1003，708)＝gcd(708，295)(按情況1處理) 708–295＝413gcd(708，295)＝gcd(413，295)(按情況2處理) 更相 413–295＝118gcd(413，295)＝gcd(295，118)(按情況1處理) 295–118＝177gcd(295，118)＝gcd(177，118)(按情況2處理) 更相 177–118＝59gcd(177，118)＝gcd(118，59)(按情況1處理) 118–59＝59gcd(118，59)＝gcd(59，59)＝59(按情況3處理) 最終出現(xiàn)兩個(gè)相等的數(shù)59，為2419和1711的最大公約數(shù)。最終結(jié)果正確，且每一步均保持GCD不變。 【例2】求 A_1 = 98，A_2 = 63的最大公約數(shù)。【解】98 - 63 = 35 gcd(98, 63) = gcd(63, 35)(按情況1處理) 63 - 35 = 28 gcd(63, 35) = gcd(35, 28)(按情況1處理) 35 - 28 = 7 gcd(35, 28) = gcd(28, 7)(按情況1處理) 28 - 7 = 21gcd(28, 7) = gcd(7, 21) (按情況2處理) 更相 gcd(28, 7) = gcd(21, 7) 21 - 7 = 14gcd(21, 7) ＝gcd(7, 14) (按情況2處理) 更相 gcd(21, 7) ＝gcd(14, 7) 14–7＝7 gcd(14, 7) ＝ gcd(7, 7) ＝7(按情況3處理) 最終出現(xiàn)兩個(gè)相等的數(shù)7，為98和63的最大公約數(shù)。最終結(jié)果正確，且每一步均保持GCD不變。 三，輾轉(zhuǎn)相除法正確性數(shù)學(xué)證明 求兩個(gè)正整數(shù) A_1 和 A_2 (A_1 > A_2)的最大公約數(shù)，其輾轉(zhuǎn)相除法算法流程： 1. 算法流程 (1)以大數(shù)A_1(被除數(shù))除以小數(shù)A_2(除數(shù))，得商為q_1，余數(shù)為r_1 ： A_1 = q_1 A_2 + r_1 ，(2) 顯然余數(shù)小于原除數(shù)，重新確定下一步的被除數(shù)為原除數(shù)(A_2)，除數(shù)為原余數(shù)(r_1 )。一般地，余數(shù)序列可表為 r_k = A_k – q_k A_(k+1) ， A_k = q_k A_(k+1)+ r_k， A_(k +1) = q_(k+1) A_(k+2)+ r_(k+1)，其中A_(k+2)＝r_k k＝1，2，3，… (1)(3) 重復(fù)上述操作直到余數(shù)為0，此時(shí)最后一個(gè)除數(shù)即為原兩數(shù)的最大公約數(shù)。 2. 引理和定理 【引理1】GCD在帶余除法操作中保持不變，即，若a > b，則 gcd(a, b) = gcd(b, a (mod b))【證明】設(shè) a = qb + r，其中 r = a (mod b) (2)(?)若 d 是 a 和b 的公約數(shù)，則由 d | a 和 d | b ，得 d | (a - qb) = r ，故 d 是 b和r的公約數(shù)。因此， gcd(a, b) ≤ \gcd(b, r) (3)(?)若 d 是 b 和 r 的公約數(shù)，則由 d | b 和 d | r ，得 d | (qb+r) = a ，故 d 是 a 和 b 的公約數(shù)。因此， gcd(b, r) ≤ \gcd(a, b) (4)最后由(3)和(4)式推出 gcd(a, b) = gcd(b, r)再由(2)式，引理1得證。 【引理2】余數(shù)嚴(yán)格遞減至零，即余數(shù)序列(1) r_1，r_2，…最終必有正整數(shù)n，使 r_n = 0 【證明】由(1)式可知，每步除法中，余數(shù) r_k 滿足 r_k = A_k – q_k A_(k+1) ，若 r_k ≠ 0 ，下一步操作中余數(shù) r_(k+1) =A_(k+1) – q_(k+1) A_(k+2) =A_(k+1) – q_(k+1) r_k必然有 r_(k+1) < r_k 。 由于余數(shù)為非負(fù)整數(shù)且嚴(yán)格遞減，算法必在有限步(n步)內(nèi)終止(至多 A_2 步)，于是得到 r_n = 0 【定理】當(dāng)余數(shù)為零時(shí)，上一步的余數(shù)即為 GCD【證明】根據(jù)引理2，必得到余數(shù)r_n = 0 ，再根據(jù)引理1 得 gcd(A_1, A_2) = gcd(A_(n+1)+ r_n) ＝gcd(A_(n+1), 0)＝A_(n+1)最終結(jié)果即為原兩數(shù)的 GCD。 【例】求 gcd(98, 63)的輾轉(zhuǎn)相除法過程(1) 98 = 1×63 + 35 → gcd(63, 35)(2) 63 = 1×35 + 28→ gcd(35, 28)(3) 35 = 1×28 + 7 → gcd(28, 7)(4) 28 = 4×7 + 0 → gcd(7, 0) = 7所以，gcd(98, 63)＝7。與更相減損術(shù)一致，但步驟更少（4步 vs 6步）。 四，更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法對(duì)比 1. 算法本質(zhì) 更相減損術(shù)：通過反復(fù)減法消去大數(shù)和小數(shù)的差值，逐步逼近GCD。 核心操作：a → a - b (若 a > b )，直到 a = b 。 數(shù)學(xué)原理： gcd(a, b) = gcd(b, a - b)輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）：通過除法直接消去大數(shù)對(duì)小數(shù)的高倍數(shù)部分，快速縮小問題規(guī)模。 核心操作： a →b， b → a (mod b )，直到 b = 0 。 數(shù)學(xué)原理： gcd(a, b) = gcd(b, a (mod b)) 2. 效率差異 更相減損術(shù)：每次減法僅減少數(shù)值 b ，當(dāng) a ? b (即a ≥ 1000b)時(shí)步驟數(shù)可能為 O(a/b) 。 【例】求 gcd(1000, 1) 需 999 次減法運(yùn)算。 輾轉(zhuǎn)相除法：每次除法將數(shù)值至少減半（由余數(shù)性質(zhì)：a (mod b )< b/2 )，步驟數(shù)為 (O(log (min(a, b)) 。 【例】求 gcd(1000, 1) 僅需 1 次除法運(yùn)算(余數(shù)直接為 0)。 3. 核心思想?兩種算法均體現(xiàn)了“逐步消去差值，保持結(jié)構(gòu)不變”的數(shù)學(xué)智慧，但輾轉(zhuǎn)相除法通過除法（即批量減法）顯著提升了效率，是更相減損術(shù)的優(yōu)化版本。使歐幾里得算法成為現(xiàn)代計(jì)算 GCD 的標(biāo)準(zhǔn)方法。 五，價(jià)值觀的最大公約數(shù) 1. 習(xí)近平：確立價(jià)值觀“最大公約數(shù)” 中共中央總書記、國(guó)家主席、中央軍委主席習(xí)近平2014年5月4日考察北京大學(xué)，在師生座談會(huì)上發(fā)表重要講話，著重談了社會(huì)主義核心價(jià)值觀。 習(xí)近平指出，中國(guó)是一個(gè)有著13億多人口、56個(gè)民族的大國(guó)，確立反映全國(guó)各族人民共同認(rèn)同的價(jià)值觀“最大公約數(shù)”，使全體人民同心同德、團(tuán)結(jié)奮進(jìn)，關(guān)乎國(guó)家前途命運(yùn)，關(guān)乎人民幸福安康。 習(xí)近平說(shuō)，每個(gè)時(shí)代都有每個(gè)時(shí)代的精神，每個(gè)時(shí)代都有每個(gè)時(shí)代的價(jià)值觀念。在當(dāng)代中國(guó)，我們的民族、我們的國(guó)家應(yīng)該堅(jiān)守什么樣的核心價(jià)值觀？經(jīng)過反復(fù)征求意見，綜合各方面認(rèn)識(shí)，我們提出要倡導(dǎo)富強(qiáng)、民主、文明、和諧，倡導(dǎo)自由、平等、公正、法治，倡導(dǎo)愛國(guó)、敬業(yè)、誠(chéng)信、友善，積極培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀。 習(xí)近平指出，富強(qiáng)、民主、文明、和諧是國(guó)家層面的價(jià)值要求，自由、平等、公正、法治是社會(huì)層面的價(jià)值要求，愛國(guó)、敬業(yè)、誠(chéng)信、友善是公民層面的價(jià)值要求。這個(gè)概括，實(shí)際上回答了我們要建設(shè)什么樣的國(guó)家、建設(shè)什么樣的社會(huì)、培育什么樣的公民的重大問題。 2. 從“最大公約數(shù)”話語(yǔ)看中國(guó)共產(chǎn)黨人民至上的價(jià)值取向 作者：劉艷【聚焦學(xué)理中國(guó)】來(lái)源：中國(guó)社會(huì)科學(xué)網(wǎng)2024-03-25 “最大公約數(shù)”是中國(guó)共產(chǎn)黨治國(guó)理政的一個(gè)重要話語(yǔ)。它不僅具有數(shù)學(xué)上的內(nèi)涵，同時(shí)也是一種隱喻，用來(lái)形容黨內(nèi)外各方面人士之間共同的基礎(chǔ)、共同的利益、共同的愿望?！白畲蠊s數(shù)”話語(yǔ)體現(xiàn)了中國(guó)共產(chǎn)黨團(tuán)結(jié)中華民族和中國(guó)人民，為全體人民的幸福而奮斗的價(jià)值追求。中國(guó)共產(chǎn)黨的“最大公約數(shù)”話語(yǔ)彰顯了人民至上的基本價(jià)值取向。 在政治上，“最大公約數(shù)”話語(yǔ)強(qiáng)調(diào)不同社會(huì)群體之間的共同點(diǎn)，以找到一個(gè)能夠團(tuán)結(jié)全體人民的共同目標(biāo)。社會(huì)存在就現(xiàn)實(shí)意義而言存在著各種差異，如生存背景、民族、社會(huì)地位等，通過強(qiáng)調(diào)“最大公約數(shù)”，中國(guó)共產(chǎn)黨將社會(huì)存在中的不同個(gè)體團(tuán)結(jié)在共同的目標(biāo)下?！白畲蠊s數(shù)”話語(yǔ)體現(xiàn)了中國(guó)共產(chǎn)黨追求社會(huì)團(tuán)結(jié)與和諧，是中國(guó)共產(chǎn)黨“發(fā)展為了人民、發(fā)展依靠人民、發(fā)展成果由人民共享”的人民至上價(jià)值取向和執(zhí)政理念的體現(xiàn)。 “最大公約數(shù)”話語(yǔ)是中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)革命、建設(shè)及改革執(zhí)政理念的集中體現(xiàn)。在中國(guó)共產(chǎn)黨歷史發(fā)展中，特別是在中華人民共和國(guó)成立初期，面對(duì)國(guó)際國(guó)內(nèi)、政治經(jīng)濟(jì)等錯(cuò)綜復(fù)雜的矛盾，中國(guó)共產(chǎn)黨提出了“最大公約數(shù)”概念，團(tuán)結(jié)人，凝聚人，為人民謀利益，為最廣大的人民群眾謀幸福，帶領(lǐng)中華民族和中國(guó)人民不斷走向新的發(fā)展階段。實(shí)踐中，在團(tuán)結(jié)各方人士、中華人民共和國(guó)成立的過程中，中國(guó)共產(chǎn)黨踐行了“最大公約數(shù)”的理念。人民政協(xié)的成立就是一個(gè)典型。人民政協(xié)包括了中國(guó)共產(chǎn)黨、其他政黨、各族各界人士，包括不同民族、宗教、文化和社會(huì)背景的代表，以及來(lái)自經(jīng)濟(jì)、文化、教育、科技、軍事等各個(gè)領(lǐng)域的代表。這種多黨合作的平臺(tái)機(jī)制能夠使不同代表之間的利益得到有效實(shí)現(xiàn)，形成“最大公約數(shù)”。人民政協(xié)通過吸納各個(gè)群體的代表，在中國(guó)多元的社會(huì)結(jié)構(gòu)中找到共同點(diǎn)，促進(jìn)不同群體的協(xié)作共生。這種組成結(jié)構(gòu)確保了人民政協(xié)可以保障最廣泛的社會(huì)利益，以達(dá)到“最大公約數(shù)”，促進(jìn)社會(huì)的和諧與穩(wěn)定，體現(xiàn)了“發(fā)展為了人民，發(fā)展依靠人民”的思想。 在改革開放的進(jìn)程中，“最大公約數(shù)”這個(gè)概念逐漸得到強(qiáng)化。實(shí)現(xiàn)共同富裕、全面建成小康社會(huì)、科學(xué)發(fā)展等體現(xiàn)了社會(huì)治理中的最大公約數(shù)。共同富裕理念是馬克思主義政黨人民性的體現(xiàn)，體現(xiàn)了全體人民的共同利益和共同目標(biāo)，體現(xiàn)了中國(guó)共產(chǎn)黨力圖在改革開放的過程中確保改革的紅利惠及更廣泛的社會(huì)群體，確?！鞍l(fā)展成果由人民共享”。在改革中，鄧小平同志提出讓一部分人先富起來(lái)，鼓勵(lì)個(gè)體經(jīng)濟(jì)和私營(yíng)企業(yè)的發(fā)展，以激發(fā)社會(huì)主義市場(chǎng)活力和人民干事創(chuàng)業(yè)的熱情，最終實(shí)現(xiàn)全體人民的共同富裕，也就是最大限度地在經(jīng)濟(jì)上實(shí)現(xiàn)特定時(shí)期的“最大公約數(shù)”。 全面建成小康社會(huì)是中國(guó)共產(chǎn)黨在百年奮斗中完成的目標(biāo)。小康社會(huì)的建設(shè)旨在使全體人民在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、文化等各方面都達(dá)到相對(duì)富裕的水平。全面建成小康社會(huì)體現(xiàn)為，要實(shí)現(xiàn)國(guó)民經(jīng)濟(jì)持續(xù)健康發(fā)展，確保全體人民共享經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的成果；實(shí)現(xiàn)農(nóng)村全面建成小康社會(huì)，推動(dòng)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)繁榮，提高農(nóng)民的生活水平；加強(qiáng)社會(huì)事業(yè)建設(shè)，包括教育、醫(yī)療、文化、體育等領(lǐng)域，提高人民群眾的文化素養(yǎng)，建設(shè)社會(huì)保障體系，推動(dòng)全體人民共享社會(huì)發(fā)展成果；加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，保護(hù)環(huán)境，推動(dòng)可持續(xù)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與生態(tài)環(huán)境的協(xié)調(diào)發(fā)展……這些目標(biāo)體現(xiàn)了全體中國(guó)人民在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、精神文明、生態(tài)等利益的“最大公約數(shù)”。 科學(xué)發(fā)展強(qiáng)調(diào)以人為本，將人的全面發(fā)展、全體人民共同富裕作為發(fā)展的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)在發(fā)展中保障人的權(quán)益，將人民利益作為最大公約數(shù)，體現(xiàn)了發(fā)展的目的是為了人民的價(jià)值理念。科學(xué)發(fā)展觀還強(qiáng)調(diào)經(jīng)濟(jì)、政治、社會(huì)、文化等各個(gè)方面的全面發(fā)展，強(qiáng)調(diào)各個(gè)地區(qū)、各個(gè)部門之間的協(xié)調(diào)發(fā)展以避免發(fā)展不平衡而導(dǎo)致社會(huì)不公平，強(qiáng)調(diào)在發(fā)展中注重生態(tài)環(huán)境的保護(hù)，避免為了一時(shí)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展而犧牲環(huán)境效益，追求世代之間的公平和可持續(xù)、追求各方面的平衡和共同進(jìn)步，以實(shí)現(xiàn)最大程度的共同利益。這種全面、協(xié)調(diào)、可持續(xù)的發(fā)展觀體現(xiàn)了在發(fā)展中尋找“最大公約數(shù)”的價(jià)值追求。 黨的十八大以來(lái)，面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的國(guó)際國(guó)內(nèi)形勢(shì)和多元化的思想觀念、價(jià)值取向及利益格局，以習(xí)近平同志為核心的黨中央堅(jiān)持“最大公約數(shù)”話語(yǔ)守正創(chuàng)新，極大地豐富了“最大公約數(shù)”話語(yǔ)的內(nèi)涵，拓展了“最大公約數(shù)”話語(yǔ)的空間。 在國(guó)內(nèi)，中國(guó)共產(chǎn)黨最大限度地包容多樣性，促進(jìn)社會(huì)的和諧穩(wěn)定，使人民能夠共享改革和發(fā)展的成果。在這種背景下，黨提出了“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”和“中國(guó)夢(mèng)”，這是“最大公約數(shù)”話語(yǔ)在新時(shí)代的集中體現(xiàn)。社會(huì)主義核心價(jià)值觀包括三個(gè)層面的價(jià)值，即國(guó)家的富強(qiáng)、民主、文明、和諧，社會(huì)的自由、平等、公正、法治，個(gè)人的愛國(guó)、敬業(yè)、誠(chéng)信、友善。社會(huì)主義核心價(jià)值觀的這個(gè)“最大公約數(shù)”確立了社會(huì)的共同理想、共同目標(biāo)和共同價(jià)值觀，“使全體人民同心同德、團(tuán)結(jié)奮進(jìn)”，體現(xiàn)了人民至上的價(jià)值理念。中國(guó)夢(mèng)指的是實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的夢(mèng)，是全體人民共同的夢(mèng)想。中國(guó)夢(mèng)的實(shí)現(xiàn)帶來(lái)的是全體人民生活水平的提高，全國(guó)各族人民的共同繁榮進(jìn)步。人民的夢(mèng)想由人民來(lái)實(shí)現(xiàn)，夢(mèng)想的果實(shí)由人民來(lái)共享，再一次體現(xiàn)了“發(fā)展依靠人民”、“發(fā)展成果由人民共享”的理念，與“最大公約數(shù)”的概念相契合。 放眼全球，中國(guó)共產(chǎn)黨提出構(gòu)建人類命運(yùn)共同體，積極共建美好世界的“最大公約數(shù)”。面對(duì)全球治理赤字、信任赤字、發(fā)展赤字、和平赤字、發(fā)展不平衡，作為負(fù)責(zé)任有擔(dān)當(dāng)?shù)拇髧?guó)，共建“一帶一路”匯聚了人類共同發(fā)展的“最大公約數(shù)”。面對(duì)不同社會(huì)制度、意識(shí)形態(tài)、歷史文化、發(fā)展水平的國(guó)家，中國(guó)共產(chǎn)黨在國(guó)際事務(wù)中反對(duì)零和博弈，主張利益共生、權(quán)利共享、責(zé)任共擔(dān)，積極構(gòu)建美好世界的“最大公約數(shù)”，為人類的和平和發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)。 綜上所述，“最大公約數(shù)”體現(xiàn)了中國(guó)共產(chǎn)黨對(duì)全體人民共同利益的關(guān)切，強(qiáng)調(diào)了全體人民在參與中國(guó)社會(huì)建設(shè)中的共同責(zé)任，突顯了中國(guó)共產(chǎn)黨“發(fā)展為了人民、發(fā)展依靠人民、發(fā)展成果由人民共享”的人民至上價(jià)值取向。 3. 國(guó)家與國(guó)家之間要尋找最大公約數(shù) 百度AI+2025年4月9日 ?國(guó)家與國(guó)家之間確實(shí)需要尋找最大公約數(shù)的關(guān)系?。在國(guó)際關(guān)系中，尋找最大公約數(shù)是指各國(guó)在處理彼此關(guān)系時(shí)，努力尋求共同利益和合作的基礎(chǔ)，以實(shí)現(xiàn)共贏和穩(wěn)定。這種做法在多個(gè)方面都有體現(xiàn)： ?經(jīng)濟(jì)合作?：經(jīng)濟(jì)聯(lián)系是大國(guó)利益的主要交匯點(diǎn)，互利共贏的經(jīng)貿(mào)合作能夠增進(jìn)相互理解，避免將經(jīng)貿(mào)問題政治化??。例如，中俄在經(jīng)濟(jì)上高度互補(bǔ)，俄羅斯擁有豐富的自然資源，而中國(guó)在人力資源和技術(shù)方面具有優(yōu)勢(shì)，雙方在能源、制造業(yè)等領(lǐng)域進(jìn)行了廣泛的合作??。 ?外交策略?：大國(guó)在外交政策上也需要尋找公約數(shù)，以平衡與不同國(guó)家的關(guān)系。例如，中國(guó)在外交中努力尋求與多個(gè)國(guó)家的共同利益，以實(shí)現(xiàn)國(guó)家利益的最大化。中國(guó)在處理與伊朗和阿聯(lián)酋的關(guān)系時(shí)，通過支持阿聯(lián)酋和平解決島嶼主權(quán)問題，雖然引起了伊朗的不滿，但這是為了爭(zhēng)取更多國(guó)家的支持??。 ?安全合作?：大國(guó)之間應(yīng)堅(jiān)持和平共處、合作安全的原則，避免對(duì)抗和沖突。通過合作安全、集體安全和共同安全的方式處理國(guó)際分歧與爭(zhēng)端，可以維護(hù)世界的和平與穩(wěn)定??1。例如，中俄在聯(lián)合國(guó)安理會(huì)等國(guó)際組織中彼此協(xié)調(diào)，共同化解各種麻煩??。 4. 真民主與最大公約數(shù) 朝陽(yáng)少俠官方澎湃號(hào)，上海2025年4月8日 黨爭(zhēng)內(nèi)耗、傾軋掣肘不是真民主。民主的初衷是通過共同協(xié)商，找到最大公約數(shù)，而不是一半人與另一半人水火不容，你支持的我必反對(duì)，讓整個(gè)國(guó)家左右互搏、原地打轉(zhuǎn)。 . . . . .

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