<p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> </b><b style="font-size:22px;">段 落</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 一，莫比烏斯簡介</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 二，矩形紙帶三種粘合方式</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 1. 圓柱面</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 2. 莫比烏斯帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 3. 雙扭帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 三，雙扭帶環(huán)切割狀態(tài)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 四，莫比烏斯帶環(huán)切割狀態(tài)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 五，莫比烏斯帶環(huán)的靈魂</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 1. 對稱翻轉(zhuǎn)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 2. 切割時(shí)神秘的扭轉(zhuǎn)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 3. 扭轉(zhuǎn)次數(shù)的計(jì)算</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 六，莫比烏斯帶環(huán)與雙扭帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 切割后狀態(tài)對比</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 七，莫比烏斯帶環(huán)的實(shí)際價(jià)值</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 1. 科學(xué)技術(shù)的莫比烏斯帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 2. 藝術(shù)形式的莫比烏斯帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 3. 建筑領(lǐng)域的莫比烏斯帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 4. 自然界中的莫比烏斯帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 一，莫比烏斯簡介</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?莫比烏斯的英文名是</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">August Ferdinand M?bius?</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯是19世紀(jì)德國著名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，以他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)而聞名。莫比烏斯最著名的成就是發(fā)現(xiàn)了三維歐幾里得空間中的一種奇特的二維單面環(huán)狀結(jié)構(gòu)，后人稱之為“莫比烏斯帶”。?</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯帶是在1858年，他和約翰·李斯丁（Johhan Benedict Listing）</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">共同發(fā)現(xiàn)的??。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯帶的制作方法是將一根紙條扭轉(zhuǎn)180度后，再將兩端粘接起來，形成一個(gè)只有一個(gè)面和一條封閉曲線作為邊界的單側(cè)曲面的紙帶圈。文獻(xiàn)中有稱它為莫比烏斯環(huán)的，也有稱莫比烏斯環(huán)的，在本文中稱它為莫比烏斯帶環(huán)較為恰當(dāng)。</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這種紙帶具有魔術(shù)般的性質(zhì)，例如一只小蟲可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過它的邊緣??。</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯帶在生活和生產(chǎn)中都有應(yīng)用，并且近年來在科學(xué)研究中也有新的發(fā)現(xiàn)，例如2022年日本名古屋大學(xué)等研究團(tuán)隊(duì)成功合成了“莫比烏斯環(huán)”形狀的碳分子，并將其命名為“莫比烏斯碳納米帶。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯在射影幾何中引入了齊次坐標(biāo)系、莫比烏斯變換等概念，并在數(shù)論中提出了莫比烏斯函數(shù)和莫比烏斯反演公式等重要成就。他的工作對拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響，被認(rèn)為是拓?fù)鋵W(xué)的先驅(qū)。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">2025年3月14日國際數(shù)學(xué)日，中國郵政發(fā)行《數(shù)學(xué)之美》特種郵票。該套郵票共4枚，構(gòu)圖簡潔，盡顯數(shù)學(xué)美感。郵票選取圓周率、勾股定理、歐拉公式、莫比烏斯帶這四個(gè)著名數(shù)學(xué)成果，融合中西方數(shù)學(xué)成就，兼具時(shí)代感與科學(xué)內(nèi)涵。?</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"><span class="ql-cursor">?</span></b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 二，矩形紙帶三種粘合方式</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?假定有一個(gè)矩形紙帶ABCD，它的四個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)記順序如下圖 ?</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">短邊：AB和CD</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">長邊：AC和BD</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">兩個(gè)面：看見的一面為正面，另一面為反面(或背面)</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">將兩個(gè)短邊粘合的方式有以下三種：</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">1. 圓柱面</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">一般情況下，把兩個(gè)短邊AB和CD粘合在一起，即A和C準(zhǔn)重合，B和D準(zhǔn)重合(這里稱“準(zhǔn)重合”，因?yàn)檎澈蠒r(shí)兩個(gè)短邊AB和CD不是標(biāo)準(zhǔn)的重合而且靠近)，形成一個(gè)空心開口圓柱體(簡稱圓柱面)，具有外表面和內(nèi)表面，是雙側(cè)面曲面。圓柱面的兩個(gè)開口端，長邊AC和BD就會各自形成兩個(gè)獨(dú)立的邊界圓。這種情況下，邊界的數(shù)量是兩條。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">因此，圓柱面有二個(gè)面(內(nèi)外二面)和二條邊(左右二圓周)，如下圖所示 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">2. 莫比烏斯帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">首先在短邊CD端把線帶扭轉(zhuǎn)180度，再把兩個(gè)短邊AB的正面和短邊CD的反面粘在一起，即D點(diǎn)轉(zhuǎn)面與A點(diǎn)準(zhǔn)重合，C點(diǎn)轉(zhuǎn)面與B點(diǎn)準(zhǔn)重合，形成一條扭曲的環(huán)狀紙帶，不再是圓柱面，有人稱它為莫比烏斯帶，也有人稱它為莫比烏斯環(huán)，這兩種稱法都沒反映其本質(zhì)特征：是把帶扭轉(zhuǎn)粘合成環(huán)，稱它為莫比烏斯帶環(huán)較為恰當(dāng)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">由于紙帶扭轉(zhuǎn)180度，它原來的正反兩面在AB短邊處連接，再無正反之分，成為一個(gè)單側(cè)曲面。這一扭一粘可謂是“扭轉(zhuǎn)乾坤”，把原來可直接粘成雙側(cè)面雙邊界的圓柱面，卻扭粘成一個(gè)單側(cè)面單邊界的莫比烏斯帶環(huán)。如下圖所示 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">3. 雙扭帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">將一條矩形紙帶ABCD扭轉(zhuǎn) 360度后，因?yàn)檫@是兩次扭轉(zhuǎn)180度，反反得正，這樣就把兩個(gè)短邊AB的正面和CD的正面粘合在一起，即A和C準(zhǔn)重合，B和D準(zhǔn)重合形成一個(gè)雙側(cè)曲面，看似有類似雙螺旋的結(jié)構(gòu)，非圓柱面，稱這類帶環(huán)為雙扭帶環(huán)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【注】這種紙帶扭粘方式，文獻(xiàn)中沒曾出現(xiàn)過，筆者與DeepSeek R1 討論，相對莫比烏斯帶環(huán)而言，稱它為雙扭帶環(huán)較為合適。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">參看下面從兩個(gè)不同角度拍攝的雙扭帶環(huán) ?</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">參看下面三種帶環(huán)示意動圖 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 三，雙扭帶環(huán)切割狀態(tài)</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">雙扭帶環(huán)并不是莫比烏斯環(huán)，沿中線切割后得到兩個(gè)結(jié)構(gòu)與原來帶環(huán)一樣，都是雙側(cè)曲面的雙扭帶環(huán)，只是寬度是原來帶環(huán)的1/2。它們之間環(huán)環(huán)相套 ?</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">其中一個(gè)雙扭帶環(huán)與原來的同樣結(jié)構(gòu) ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">將雙扭帶環(huán)沿兩個(gè)三分點(diǎn)切割后，得到三個(gè)結(jié)構(gòu)與原來帶環(huán)一樣，都是雙側(cè)曲面的雙扭帶環(huán)，只是寬度是原來帶環(huán)的1/3。它們之間環(huán)環(huán)相套 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 四，莫比烏斯帶環(huán)切割狀態(tài)</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(1) 先切割下面莫比烏斯帶環(huán) ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">用剪刀沿閉合的邊界線切割，因?yàn)槭俏ㄒ坏倪吔缇€，邊界線兩邊都是原來同一個(gè)莫比烏斯帶環(huán)，所以切割后就得到原來邊界線長度兩倍的新邊界線的一個(gè)“大”的莫比烏斯帶環(huán)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這跟我們所處的國家與國家的邊界線的概念不一樣。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">參看下面視頻 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(2) 兩條切割線的邊界線 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">如果用剪刀在莫比烏斯帶環(huán)上切割時(shí)，把帶的寬度三等分，從其中一個(gè)三分點(diǎn)開始切割，切了一周后通過另一個(gè)三分點(diǎn)，再繼續(xù)切割，與切割起始點(diǎn)相遇，莫比烏斯帶環(huán)被分割得到兩個(gè)莫比烏斯帶環(huán)，其長度，一個(gè)是另一個(gè)的兩倍，並且這兩個(gè)帶環(huán)是環(huán)環(huán)相套。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這兩個(gè)莫比烏斯帶環(huán)各自有一條邊界線，其長度，其中一個(gè)是另一個(gè)的兩倍。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">參看下面視頻 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">? 五，</b><b style="font-size:22px;">莫比烏斯帶環(huán)的靈魂</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯帶環(huán)是把一個(gè)矩形紙帶扭轉(zhuǎn)180度后，把兩端粘合起來，從粘合那一刻起，粘合痕跡就消失，帶就變成了環(huán)，形成一個(gè)只有一個(gè)面和一個(gè)邊的單側(cè)曲面。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">1. 對稱翻轉(zhuǎn)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">一個(gè)環(huán)長為L，帶寬為W的莫比烏斯帶環(huán)，假設(shè)參數(shù)化 (沒有坐標(biāo)軸) 后的坐標(biāo)是(x, y)，其中x 在0 到L 之間是長度方向，y在0 到W 之間是寬度方向。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">假定N ≥ 2，為自然數(shù)。在寬度方向分成N等分，也就是有N-1 個(gè)分點(diǎn)。分點(diǎn)的位置在寬度方向的坐標(biāo)分量依次是</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> W/N，2W/N， ...， (N-1)W/N</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">從某一個(gè)分點(diǎn)yk＝kW/N 出發(fā)開始切割，沿長度方向切割一周時(shí)，剪刀必然已經(jīng)通過x=0 和x=L 的點(diǎn)被粘合的位置，這時(shí)紙帶相對于切割起點(diǎn)已經(jīng)扭轉(zhuǎn)，于是剪刀必然到達(dá)另一個(gè)分點(diǎn)，它必是對稱地偏移到對面的位置，也就是</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> yr＝W–kW/N = (N–k)W/N</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【對稱翻轉(zhuǎn)】當(dāng)沿著長度方向移動一周時(shí)，實(shí)際上在紙帶的另一端會被扭轉(zhuǎn)，導(dǎo)致寬度方向上下位置互換。稱這個(gè)現(xiàn)象為對稱翻轉(zhuǎn)。這種現(xiàn)象只當(dāng)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> k＝1，2，…，[N/2]</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">時(shí)才發(fā)生。這里[ ] 表示實(shí)數(shù)的整數(shù)部分。</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">繼續(xù)切割下去，切割第二周時(shí)，剪刀必然已經(jīng)通過x=0 和x=L 的點(diǎn)被粘合的位置，這時(shí)再次發(fā)生對稱翻轉(zhuǎn)，剪刀的寬度方向坐標(biāo)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> y＝W - (W - kW/N) = yk</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">回到了起點(diǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">因此，繞行兩次L的長度（即兩次繞行）后，剪刀回到起點(diǎn)，形成一個(gè)閉合的路徑。從而導(dǎo)致剪出來的紙帶長度為2L，寬度為W，是一個(gè)閉環(huán)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">不僅如此，它仍是一個(gè)只有一個(gè)面和一個(gè)邊的單側(cè)曲面的帶環(huán)，切出的帶環(huán)與原帶環(huán)環(huán)環(huán)相套。</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">2. 切割時(shí)神秘的扭轉(zhuǎn)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">按上述步驟操作，當(dāng)N＝3 時(shí)，有兩個(gè)分點(diǎn)，在從第1個(gè)分點(diǎn)出發(fā)切割莫比烏斯帶環(huán)的過程中，切割兩周，剪刀的一側(cè)刀走遍了切割前帶環(huán)的整個(gè)單側(cè)面。(想像紙帶又被扭轉(zhuǎn)360度)，雖然回到了起點(diǎn)，但切割實(shí)驗(yàn)表明，切出去的帶環(huán)不再是原來的扭轉(zhuǎn)180度，而是紙帶被扭轉(zhuǎn)了540度(增加一圈，成為三扭帶環(huán))。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">當(dāng)N＝5 時(shí)，有4個(gè)分點(diǎn)，在從第1個(gè)分點(diǎn)出發(fā)切割，切出一個(gè)扭轉(zhuǎn)540度的單側(cè)面帶環(huán)后，再從第2 分點(diǎn)出發(fā)，切割兩周后，剩下的帶環(huán)又被切出一部分，其扭轉(zhuǎn)又增加了360度，總扭轉(zhuǎn)為900度，成好五扭帶環(huán)。</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">3. 扭轉(zhuǎn)次數(shù)的計(jì)算</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(1) 原帶的扭轉(zhuǎn)繼承</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">原帶每繞行一周（長度L）引入180°扭轉(zhuǎn)，切割后的新帶繞行兩周（長度2L），繼承原帶的180°基礎(chǔ)扭轉(zhuǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(2) 切割引入的額外扭轉(zhuǎn)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">切割路徑在繞行原帶時(shí)，寬度方向的分割導(dǎo)致 周期性翻轉(zhuǎn)。每次繞行一周，分點(diǎn)位置對稱變換 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> yk ?W–yk</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">相當(dāng)于 180°翻轉(zhuǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">兩次繞行共引入 兩次翻轉(zhuǎn)，即</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">360°額外扭轉(zhuǎn)。因此，總扭轉(zhuǎn)次數(shù)為</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 180°(原帶)＋360°(切割引入)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> = 540°</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(3) 一般化公式</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">對任意自然數(shù) N≥2，切割后新帶的總扭轉(zhuǎn)次數(shù)為：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> 總扭轉(zhuǎn) ＝(1+2 [N/2]) 180°</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> [N/2]=(N–1)/2，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">總扭轉(zhuǎn)次數(shù)為 N180°，切割后新帶環(huán)為奇數(shù)次扭轉(zhuǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> [N/2]=N/2，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">總扭轉(zhuǎn)次數(shù)為 (N+1)180°，切割后新帶環(huán)仍為奇數(shù)次扭轉(zhuǎn)帶環(huán)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">因此，對于原莫比烏斯定義下的扭轉(zhuǎn)180°后粘合的紙帶，經(jīng)任意多次上述切割而得到的帶環(huán)都是奇數(shù)次扭轉(zhuǎn)的帶環(huán)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">【單扭帶環(huán)】上面得到的都是奇數(shù)扭轉(zhuǎn)的帶環(huán)，簡稱為單扭帶環(huán)。它們都保持了只有一個(gè)面一個(gè)邊的單側(cè)曲面拓?fù)涮卣?。因此也可稱單扭帶環(huán)為廣義莫比烏斯帶環(huán)。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> </b><b style="font-size:22px;"> 六，莫比烏斯帶環(huán)與雙扭帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 切割后狀態(tài)對比</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">第一種 一個(gè)分點(diǎn)情況：</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">當(dāng)N＝2時(shí)，只有一個(gè)分點(diǎn)，一個(gè)與它一致的縱向?qū)ΨQ偏移。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">原來莫比烏斯帶環(huán)被切割成另一個(gè)莫比烏斯帶環(huán)，其長度擴(kuò)大2倍，寬度縮小1/2倍，仍是單側(cè)面曲面。帶環(huán)自身扭轉(zhuǎn)了兩圈。 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">與下面的雙側(cè)面雙扭帶環(huán)做對比可以發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槟葹跛箮Лh(huán)是單側(cè)曲面，小蟲在上面爬行一圈能回到起始點(diǎn)，但小蟲在下面的雙側(cè)面雙扭帶環(huán)上爬行時(shí)，雖然爬了一圈就可回到起始點(diǎn)。但是上圖莫比烏斯帶環(huán)的長度是原來的2倍，帶環(huán)扭轉(zhuǎn)了兩圈；而下面雙扭帶環(huán)的長度跟原來的同長，帶環(huán)只扭轉(zhuǎn)了一圈。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">第二種 奇數(shù)個(gè)分點(diǎn)情況：</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">若N≥4為偶數(shù)，則必有奇數(shù)個(gè)分點(diǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">切割從第1個(gè)分點(diǎn)W/N出發(fā)，通過(N–1)W/N時(shí)發(fā)生縱向?qū)ΨQ偏移。等切割繞行一周時(shí)路徑必通過切割起始點(diǎn)W/N，于是原來莫比烏斯帶環(huán)被切出一部分，被切出的部分是一個(gè)莫比烏斯帶環(huán)，其長度擴(kuò)大2倍，寬度縮小1/2倍，扭曲360度。余下部分的分點(diǎn)個(gè)數(shù)減少2個(gè)，仍有奇數(shù)個(gè)分點(diǎn)。再按這一段開始中的步驟，從第2個(gè)分點(diǎn)開始切割，經(jīng)過縱向?qū)ΨQ偏移，繞行一周又與第2個(gè)分點(diǎn)相遇，切出第二部分，分點(diǎn)個(gè)數(shù)再減少2，…，直到最后只剩下只有一個(gè)分點(diǎn)的莫比烏斯帶環(huán)，即N＝2，可按第一種情況中的步驟操作得到最后一個(gè)莫比烏斯帶環(huán)，其長度擴(kuò)大2倍，寬度縮小1/2倍，仍是單側(cè)面曲面。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">總共可切割出N/2個(gè)同樣類型的莫比烏斯帶環(huán)，它們之間相互環(huán)環(huán)相套。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">【例1】當(dāng)N＝4時(shí)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">?</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">先按第二種情況開始步驟操作，分割出一個(gè)莫比烏斯帶環(huán)，余下部分再按第一種情況操作形成第二個(gè)莫比烏斯帶環(huán)，這2個(gè)莫比烏斯帶環(huán)同長同寬同結(jié)構(gòu)，它們相互環(huán)環(huán)相套。?</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">其中每一部分都是單側(cè)面的莫比烏斯帶環(huán)，其長度擴(kuò)大2倍，寬度縮小1/2倍，帶環(huán)扭轉(zhuǎn)了兩圈。如前所述跟雙扭帶環(huán)不是同一類型。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">【例2】當(dāng)N＝6時(shí)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"><span class="ql-cursor">?</span></b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">切割成3個(gè)同長同寬同結(jié)構(gòu)的莫比烏斯帶環(huán)，它們相互環(huán)環(huán)相套。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">第三種 偶數(shù)個(gè)分點(diǎn)情況：</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">若N≥3 為奇數(shù)，則必有偶數(shù)個(gè)分點(diǎn)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">切割從第1個(gè)分點(diǎn)W/N出發(fā)，通過(N–1)W/N時(shí)發(fā)生縱向?qū)ΨQ偏移。切割繞行一周時(shí)路徑必通過切割起始點(diǎn)W/N，于是原來莫比烏斯帶環(huán)被切出一部分，它是一個(gè)是莫比烏斯帶環(huán)，其長度擴(kuò)大2倍，寬度是原來的1/N，仍是單側(cè)面曲面。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">余下的部分是是有偶數(shù)個(gè)分點(diǎn)的莫比烏斯帶環(huán)，再按這一段開始中的步驟做下去，直到最后是沒有一個(gè)分點(diǎn)的莫比烏斯帶環(huán)，其長度與原莫比烏斯帶環(huán)相同，寬度是原來的1/N。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">總共可切割出(N–1)/2個(gè)同樣類型的莫比烏斯帶環(huán)，和另一個(gè)長度是保持原長，它們之間相互環(huán)環(huán)相套。</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">【例1】當(dāng)N＝3時(shí)</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">切割成1長1短同寬同結(jié)構(gòu)的2個(gè)莫比烏斯帶環(huán)，它們相互環(huán)環(huán)相套。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">【例2】當(dāng)N＝5時(shí)</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">切割成2長1短同寬同結(jié)構(gòu)的3個(gè)莫比烏斯帶環(huán)，它們相互環(huán)環(huán)相套。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;"> </b><b style="font-size:22px;">七，莫比烏斯帶環(huán)的實(shí)際價(jià)值</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">康托爾經(jīng)常被譽(yù)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父，他畢生致力于對無窮的理解和闡釋。他的開創(chuàng)性工作最終提出了一種在數(shù)理邏輯范圍內(nèi)理解無窮大概念的方法，為以前抽象的、無形的想法提供了一個(gè)有形的結(jié)構(gòu)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">康托爾幾乎一生都在思考和發(fā)現(xiàn)，這使他成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">事實(shí)上，在康托爾之前，另一位數(shù)學(xué)家，奧古斯特·費(fèi)迪南德·莫比烏斯也設(shè)法用他設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)對象以具體的方式表達(dá)了無窮大。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯帶最有趣的特性之一是它的不可定向性。這意味著它沒有明顯的“上”或“下”面。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯帶確實(shí)是無限的深刻類比。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這種永恒的循環(huán)反映了無限的概念，其中結(jié)束和開始是無法區(qū)分的。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">拓?fù)鋵W(xué)中的關(guān)鍵概念之一是“拓?fù)洳蛔儭钡母拍?，即在這些連續(xù)變換下保持不變的屬性或特征。這就是莫比烏斯帶變得極其重要的地方。</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">1. 科學(xué)技術(shù)的莫比烏斯帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(1) 除了理論上的魅力之外，莫比烏斯帶還具有很多實(shí)際應(yīng)用。例如，在材料科學(xué)中，莫比烏斯形分子，稱為莫比烏斯芳烴，具有獨(dú)特的電子特性，使其在有機(jī)半導(dǎo)體和導(dǎo)電聚合物的開發(fā)中發(fā)揮重要作用。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(2) 在各國機(jī)場運(yùn)送行李的傳送帶被設(shè)計(jì)成莫比烏斯帶環(huán)。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這種巧妙的設(shè)計(jì)確保了皮帶表面的均勻磨損，從而延長了其使用壽命。同樣，汽車中的風(fēng)扇皮帶也是按照相同的原理設(shè)計(jì)的。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(3) 通過采用莫比烏斯帶環(huán)的單面設(shè)計(jì)，風(fēng)扇皮帶的整個(gè)表面積都投入使用，導(dǎo)致均勻磨損。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">(4) 在音頻技術(shù)領(lǐng)域，莫比烏斯帶環(huán)已顯著應(yīng)用于盒式磁帶錄音，特別是無限循環(huán)盒式磁帶。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這些磁帶在答錄機(jī)和車載播放器中特別受歡迎，其設(shè)計(jì)允許連續(xù)播放，而無需手動翻轉(zhuǎn)。這是通過將莫比烏斯帶環(huán)概念應(yīng)用于膠帶設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn)的。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">在連接兩端之前，磁帶被扭曲了180度，從而形成了莫比烏斯帶環(huán)。這樣一來，磁帶就可以在兩面讀取，有效播放時(shí)間延長了一倍，</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">同時(shí)確保了無縫、不間斷的音頻體驗(yàn)。在這里，莫比烏斯帶環(huán)的無窮大原理再次被證明有助于增強(qiáng)技術(shù)設(shè)計(jì)。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">日本研究團(tuán)隊(duì)首次合成莫比烏斯環(huán)形狀碳分子 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">機(jī)場運(yùn)送行李的傳送帶被設(shè)計(jì)成莫比烏斯帶環(huán)。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">2. 藝術(shù)形式的莫比烏斯帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯帶環(huán)不僅限于復(fù)雜數(shù)學(xué)和可持續(xù)實(shí)踐領(lǐng)域；它也進(jìn)入了藝術(shù)世界。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這種抽象數(shù)學(xué)概念的視覺表現(xiàn)不僅展示了數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間的交叉，也挑戰(zhàn)了我們的感知，揭示了藝術(shù)與科學(xué)交織在一起時(shí)出現(xiàn)的迷人和令人費(fèi)解的可能性。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">3. 建筑領(lǐng)域的莫比烏斯帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">最著名的例子之一是阿斯塔納的哈薩克斯坦國家圖書館。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">圖書館由著名的丹麥建筑事務(wù)所BIG（Bjarke Ingels Group）設(shè)計(jì)，其結(jié)構(gòu)靈感來自莫比烏斯帶環(huán)，創(chuàng)造了一個(gè)連續(xù)的內(nèi)部和外部空間循環(huán)，無縫地相互流動。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這座建筑奇跡象征著知識的無限性，是收藏大量國家文學(xué)作品的圖書館的合適體現(xiàn)。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">哈薩克斯坦阿斯塔納國家圖書館 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這座位于廣島尾道 </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">Bella Vista Sakaigahama</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">度假酒店后花園中，立于山上享受瀨戶內(nèi)海全景的雙螺旋教堂，位置絕佳，風(fēng)景絕美，讓人憧憬。整個(gè)教堂的造型相當(dāng)純粹，纏繞在一起的兩個(gè)螺旋樓梯組成一個(gè)史無前例，但又與婚姻息息相關(guān)的形式。兩座樓梯最終在15.4米高的頂部匯合，形成一個(gè)平臺，就像是兩個(gè)生命經(jīng)歷各不相同的人相遇，攜手，共進(jìn)。教堂底部的空間是一個(gè)能越過樹木，看到大海的80人席位婚禮堂。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">位于浦東新區(qū)的天空之鏡海綿公園就以其獨(dú)特的莫比烏斯環(huán)無限橋吸引了眾多游客前來體驗(yàn)。這座橋不僅是一座景觀橋，象征著宇宙的浩瀚無垠，更是一種對無限可能性的探索與象征。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">在奉賢的上海之魚，屹立著一座極具美感的數(shù)學(xué)無窮大“∞”人行橋。俯瞰之下，它仿佛將莫比烏斯環(huán)的魅力凝練于身，1號人行橋巧妙地連接了湖堤路，與年豐公園實(shí)現(xiàn)上下貫通。漫步其上，過橋不再只是簡單的穿越，而成為了一場別開生面的探險(xiǎn)。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">在上海浦東新區(qū)臨港的滴水湖畔，有一座名為E港橋的建筑，它以其獨(dú)特的魅力，吸引著無數(shù)游客前來探訪。這座橋不僅連接著環(huán)湖區(qū)域，更在設(shè)計(jì)中融入了無限的可能與遐想。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">在浦東新區(qū)耀體路的前灘四方城，有一座名為“無盡之旋”的巨型雙螺旋塔，其設(shè)計(jì)獨(dú)具匠心，令人嘆為觀止。這座塔不僅展現(xiàn)了建筑的美學(xué)價(jià)值，更在空間感上給人以無限遐想。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">在浦東新區(qū)耀體路的前灘四方城，一端連廊上矗立著一座名為“無盡之旋”的巨型雙螺旋塔。這座公共藝術(shù)裝置以莫比烏斯環(huán)為靈感，通體紅色，形態(tài)旋轉(zhuǎn)向上，視覺上給人以無限延伸之感。其巨大的紅色莫比烏斯環(huán)設(shè)計(jì)，仿佛一場視覺上的魔術(shù)，吸引著無數(shù)年輕人前來駐足打卡。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">在浦東新區(qū)，還有另一處與莫比烏斯環(huán)相關(guān)的景點(diǎn)——莫比烏斯環(huán)公園。它位于振橋路與申輪路交叉口的西南側(cè)，距離此處僅120米之遙。這里同樣有著莫比烏斯環(huán)的元素，為游客們帶來別樣的體驗(yàn)。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">上海臨港新片區(qū)莫比烏斯環(huán)科學(xué)公園，一個(gè)占地約14.3萬平方米的綠色寶地，以其獨(dú)特的莫比烏斯環(huán)設(shè)計(jì)為標(biāo)志，成為全國首個(gè)科學(xué)家社區(qū)。這里不僅是一個(gè)科學(xué)探索的樂園，更是一個(gè)充滿自然魅力的休閑場所。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">2024年8月，上海臨港新片區(qū)莫比烏斯環(huán)科學(xué)公園已經(jīng)正式對外開放，請點(diǎn)擊播放視頻 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">石家莊的河北傳媒學(xué)院的莫比烏斯環(huán) ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">鄭州市鄭東新區(qū)鄭開大道</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">河南省科技館新館的莫比烏斯環(huán) ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">長沙梅溪湖步行橋全長達(dá)183.95米，相對高度有20.425米。整個(gè)景觀看起來猶如一條飄帶，橫跨龍王港河，連接梅嶺公園和體育公園。長沙梅溪湖步行橋是由NEXT建筑事務(wù)所的約翰?范德沃特和蔣曉飛聯(lián)手進(jìn)行設(shè)計(jì)的，而這個(gè)設(shè)計(jì)的靈感就來源于中國傳統(tǒng)工藝形式——中國結(jié)。同時(shí)，也在這里面加入了西方無限循環(huán)—莫比烏斯環(huán)的結(jié)構(gòu)特征，賦予了梅溪湖地區(qū)不斷突破發(fā)展的深厚寓意。梅溪湖步行橋由直線形的“散步道”和拱形“登山道”多段橋身交叉組成，連綿起伏的橋體和緊鄰的山體形成呼應(yīng)的狀態(tài)。2014年年初的時(shí)候，長沙梅溪湖步行橋就被外媒賦予“世界最性感建筑”之一的美稱。?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">成都高新區(qū)“莫比烏斯”橋 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">內(nèi)蒙古五當(dāng)召的藏傳佛教博物館。它是收集、展覽和學(xué)習(xí)藏傳佛教教義的場所。設(shè)計(jì)選址在山腳下，西面朝向寺廟入口，有兩道泉水從基地的東西兩側(cè)流過。設(shè)計(jì)者從幾何和圖形分析開始概念設(shè)計(jì)，選用雙層莫比烏斯環(huán)為原型，將流線和功能組織在一個(gè)扭曲的獨(dú)石形態(tài)中。設(shè)計(jì)以純粹的形式展現(xiàn)一種對宗教和神圣感的哲學(xué)思考。 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">4. 自然界中的莫比烏斯帶環(huán)</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">除了在藝術(shù)、數(shù)學(xué)和建筑方面的影響外，莫比烏斯帶在自然界中也令人驚嘆。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯拱門是在加利福尼亞州因約縣的阿拉巴馬山發(fā)現(xiàn)的一種非凡的自然形態(tài)，是莫比烏斯帶環(huán)在自然界中反映的另一個(gè)迷人例子。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">這個(gè)壯觀的巖石露頭是一個(gè)主要的旅游景點(diǎn)，體現(xiàn)了莫比烏斯帶環(huán)的標(biāo)志性扭曲，似乎無視傳統(tǒng)幾何學(xué)的規(guī)范。</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">阿拉巴馬山的莫比烏斯拱門 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px;">莫比烏斯拱的在阿拉巴馬州山的日落 ?</b></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"> .</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">.</p>