《學(xué)習(xí)筆記》分享小學(xué)數(shù)學(xué)部分精品例題歸納＆解析

辛鈺明

從《精品文檔小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題歸納匯總30種題型》中選擇了幾種常用題型例題，不僅對(duì)小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有所幫助，還能激發(fā)他們對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和提高其思維能力。這些題對(duì)老年人提高大腦活力和思維能力也有一定好處和幫助，為此對(duì)有些不常用的和偏題就沒(méi)有被納入，而是有針對(duì)性的選擇了以下十二種常用題型，通過(guò)改編和添加插圖保存到該篇中以便于學(xué)習(xí)和參考。01歸一問(wèn)題 02歸總問(wèn)題 03和差問(wèn)題 04和倍問(wèn)題 05差倍問(wèn)題 06相遇問(wèn)題 07追及問(wèn)題 08年齡問(wèn)題 ?09牛吃草問(wèn)題 10雞兔同籠題?11幻方問(wèn)題 12構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題 ?1, 歸一問(wèn)題 【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量 1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量 另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù) 【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。 例1 ，買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ ? 解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.6÷5＝0.12（元） ?（2）買16支鉛筆需要多少錢？ 0.12×16＝1.92（元） ? 列成綜合算式 0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元） 答：需要1.92元。 2 , 歸總問(wèn)題 【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。 【數(shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量×份數(shù)=總量 總量÷1份數(shù)量=份數(shù) 總量÷另一份數(shù)=另一每份數(shù)量 ?【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。 例1 服裝廠原來(lái)做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來(lái)做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ 解:（1）這批布總共有多少米？ ?3.2×791=2531.2（米） （2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.2÷2.8=904（套） 列成綜合算式 :3.2×791÷2.8=904（套） ?答：現(xiàn)在可以做904套。 3 , 和差問(wèn)題 【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】 大數(shù)=(和＋差)÷ 2 小數(shù)=(和－差)÷ 2 【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。 例1 甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解:甲班人數(shù)=(98+6)÷2=52(人)乙班人數(shù)=(98-6)÷2=46(人) 答：甲班有52人，乙班有46人。 4，和倍問(wèn)題 【含義】已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。 ?【數(shù)量關(guān)系】 總和÷(幾倍+1)較小的數(shù) 總和-較小的數(shù) = 較大的數(shù) 較小的數(shù) ×幾倍 = 較大的數(shù) 【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 例1 果園里有杏樹(shù)和桃樹(shù)共248棵，桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？解 :(1)杏樹(shù)有多少棵？248÷(3＋1)=62(棵) (2)桃樹(shù)有多少棵？ 62×3=186(棵) 答：杏樹(shù)有62棵，桃樹(shù)有186棵。 5 ,差倍問(wèn)題 【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】 ? 兩個(gè)數(shù)的差÷(幾倍-1)=較小的數(shù) ? 較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù) 【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 例1 果園里桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，而且桃樹(shù)比杏樹(shù)多124棵。求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？解 :（1）杏樹(shù)有多少棵？ 124÷(3-1)=62（棵） （2）桃樹(shù)有多少棵？ ? 62×3=186（棵） 答：果園里杏樹(shù)是62棵，桃樹(shù)是186棵。 6，相遇問(wèn)題 【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間=總路程÷(甲速＋乙速) 總路程=(甲速＋乙速)×相遇時(shí)間 ?【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。………………例(由于該題比較典型故選此題): 甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相對(duì)而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。 解 : “兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過(guò)了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說(shuō)甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇時(shí)間=(3×2)÷(15-13)=3(小時(shí))兩地距離=(15＋13)×3=84(千米) 答：兩地距離是84千米。 7，追及問(wèn)題 【含義】兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】 追及時(shí)間=追及路程÷(快速-慢速) 追及路程=(快速-慢速)×追及時(shí)間 【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解 :?(1)劣馬先走12天能走多少千米？75×12=900(千米)(2)好馬幾天追上劣馬？ 900÷(120-75)=20（天） 列成綜合算式 75×12÷(120-75)?=900÷45=20(天) 答：好馬20天能追上劣馬。 ……………………………………例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解 :?小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用[40×(500÷200)]秒，所以小亮的速度是 (500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3米/秒 答：小亮的速度是每秒3米。 8，年齡問(wèn)題 【含義】這類問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。【數(shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問(wèn)題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。【解題思路和方法】可以利用“差倍問(wèn)題”的解題思路和方法。 例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解 35÷5=7（倍）(35+1)÷(5+1)=6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。 例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 解 (1)母親比女兒的年齡大多少歲？ 37-7=30（歲） (2)幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷(4-1)-7=3(年)列成綜合算式 (37-7)÷(4-1)-7=3(年) 答：3年后母親的年齡是女兒的4倍例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？ 解今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（3×2）歲，今年二人的年齡和為 :49＋3×2＝55（歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于(4+1)倍，因此，今年兒子年齡為 55÷(4+1)=11（歲） 今年父親年齡為 11×4=44(歲) 答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。? 例4 甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲”。乙對(duì)甲說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)將來(lái)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解 :這里涉及到三個(gè)年份：過(guò)去某一年、今年、將來(lái)某一年。列表分析： 這里涉及到三個(gè)年份：過(guò)去某一年、今年、將來(lái)某一年。列表分析： 表中二個(gè)＂□＂表示同一個(gè)數(shù)，表中二個(gè)＂△＂表示同一個(gè)數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等：?□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個(gè)年齡差，因此二人年齡差為 (61-4)÷3=19(歲) 甲今年的歲數(shù)為 △=61-19=42(歲) 乙今年的歲數(shù)為 □=42-19=23(歲) 答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲 9，“牛吃草”問(wèn)題 【含義】 “牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。這類問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。 【數(shù)量關(guān)系】草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù) 【解題思路和方法】解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。 例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問(wèn)多少頭牛5天可以把草吃完？ 解草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說(shuō)5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答： （1）求草每天的生長(zhǎng)量 ? 因?yàn)?，一方?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以1x10x20=原有草量÷20天內(nèi)生長(zhǎng)量 同理 1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長(zhǎng)量 由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生長(zhǎng)量為 50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長(zhǎng)量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求5 天內(nèi)草總量 5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長(zhǎng)量＝100＋5×5＝125 （4）求多少頭牛5 天吃完草因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5＝25（頭） 答：需要5頭牛5天可以把草吃完。 例2 一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？ 解這是一道變相的“牛吃草”問(wèn)題。與上題不同的是，最后一問(wèn)給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：（1）求每小時(shí)進(jìn)水量 因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量 10小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量 所以，（10－3）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為 14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－2×3＝30 （3）求17人幾小時(shí)淘完 17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時(shí)間是 30÷（17－2）＝2（小時(shí)） 答：17人2小時(shí)可以淘完水。 10 ，雞兔同籠問(wèn)題 【含義】這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題: 假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2） 假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（4－2） 第二雞兔同籠問(wèn)題： 假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2） 假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解 例1 長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？解假設(shè)35只全為兔，則雞數(shù)=（4×35-94）÷（4-2）=23（只）兔數(shù)7=35-23=12（只）也可以先假設(shè)35只全為雞，則 兔數(shù)=（94-2×35）÷（4-2）=12（只）雞數(shù)=35-12=23（只） 答：有雞23只，有兔12只。 例2（第二雞兔同籠問(wèn)題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問(wèn)雞與兔各多少只？ 解假設(shè)100只全都是雞，則有 兔數(shù)=（2×100-80）÷（4+2）=20（只）雞數(shù)=100-20=80（只）答：有雞80只，有兔20只。 　例3，有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃3個(gè)饃，小和尚3人吃1個(gè)饃，問(wèn)大小和尚各多少人？ 解假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3×100）個(gè)，比實(shí)際多吃（3×100－100）個(gè)，這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕?，因此我們?cè)诒ＷC和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可減少饃（3－1/3）個(gè)。因此，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人） 共有大和尚 100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。 11，幻方問(wèn)題 【含義】把n×n個(gè)自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡(jiǎn)單的幻方是三級(jí)幻方。【數(shù)量關(guān)系】每行、每列、每條對(duì)角線上各數(shù)的和都相等，這個(gè)“和”叫做“幻和”。 三級(jí)幻方的幻和＝45÷3＝15 ?五級(jí)幻方的幻和＝325÷5＝65 ?【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對(duì)角線上各數(shù)的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。 例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)填入九個(gè)方格中，使每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相等。解 幻和的3倍正好等于這九個(gè)數(shù)的和，所以幻和為 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九個(gè)數(shù)在這八條線上反復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成幻和時(shí)，每個(gè)數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個(gè)數(shù)要用到四次（即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對(duì)角線這四條線上），四角的四個(gè)數(shù)各用到三次，其余的四個(gè)數(shù)各用到兩次?？磥?lái)，用到四次的“中心數(shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。 設(shè)“中心數(shù)”為Χ，因?yàn)棣冻霈F(xiàn)在四條線上，而每條線上三個(gè)數(shù)之和等于15，所以 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）+（4－1）Χ＝15×4 即 45＋3Χ＝60 所以 Χ＝5 接著用奇偶分析法尋找其余四個(gè)偶數(shù)的位置，它們分別在四個(gè)角，再確定其余四個(gè)奇數(shù)的位置，它們分別在中行、中列，進(jìn)一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。 例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個(gè)數(shù)填到九個(gè)方格中，使每行、每列、以及對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等。解 只有三行，三行用完了所給的個(gè)數(shù)，所以每行三數(shù)之和為 ?（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18 假設(shè)符合要求的數(shù)都已經(jīng)填好，那么三行、三列、兩條對(duì)角線共8行上的三個(gè)數(shù)之和都等于18，我們看18能寫成哪三個(gè)數(shù)之和：最大數(shù)是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3 最大數(shù)是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4 最大數(shù)是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4 最大數(shù)是7： 18＝7＋6＋5 剛好寫成8個(gè)算式。首先確定正中間方格的數(shù)。第二橫行、第二豎行、兩個(gè)斜行都用到正中間方格的數(shù)，共用了四次。觀察上述8個(gè)算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應(yīng)填6。 9 4 5 2 6 7 8 然后確定四個(gè)角的數(shù)。四個(gè)角的數(shù)都用了三次，而上述8個(gè)算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3應(yīng)填在四個(gè)角上。但還應(yīng)兼顧兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都為18。10 3 最后確定其它方格中的數(shù)。如圖。 ??????????????????以下另補(bǔ)充4階幻方的二種制作方法 12，構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題 【含義】這是一種數(shù)學(xué)游戲，也是現(xiàn)實(shí)生活中常用的數(shù)學(xué)問(wèn)題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計(jì)出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中?！皹?gòu)圖布數(shù)”問(wèn)題的關(guān)鍵是要符合所給的條件。【數(shù)量關(guān)系】根據(jù)不同題目的要求而定。【解題思路和方法】通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來(lái)構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。 例1 :十棵樹(shù)苗子，要栽五行子，每行四棵子，請(qǐng)你想法子。 解符合題目要求的圖形應(yīng)是一個(gè)五角星。?4×5÷2=10因?yàn)槲褰切堑?條邊交叉重復(fù)，應(yīng)減去一半。 例2 九棵樹(shù)苗子，要栽十行子，每行三棵子，請(qǐng)你想法子。 ?解 :符合題目要求的圖形是兩個(gè)倒立交叉的等腰三角形，一個(gè)三角形的頂點(diǎn)在另一個(gè)三角形底邊的中線上。 　　例3 九棵樹(shù)苗子，要栽三行子，每行四棵子，請(qǐng)你想法子。解 :符合題目要求的圖形是一個(gè)三角形，每邊栽4棵樹(shù)，三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)應(yīng)減去，正好9棵。 4×3－3＝9