<p class="ql-block">閑來無事，找小學(xué)數(shù)學(xué)題來做，挑了幾道數(shù)學(xué)競(jìng)賽中帶有趣味性的題。 </p><p class="ql-block">做完之后，會(huì)去看看試卷后附的標(biāo)準(zhǔn)答案。結(jié)果令人失望，看到的推導(dǎo)既不嚴(yán)謹(jǐn)，過程也不完整，標(biāo)準(zhǔn)答案不標(biāo)準(zhǔn)。 </p><p class="ql-block">于是存下一個(gè)疑問：出題人只管出題，不提供標(biāo)準(zhǔn)答案嗎？ </p><p class="ql-block">先看一道題。 </p><p class="ql-block">北京市第十三屆迎春杯小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽第12題：</p><p class="ql-block">在圖中七個(gè)小圓圈中各填入一個(gè)自然數(shù)，同時(shí)滿足以下要求：</p><p class="ql-block">（1）使所填的七個(gè)自然數(shù)的和是1997；</p><p class="ql-block">（2）使圖中給的每個(gè)數(shù)都是相鄰兩個(gè)○中所填數(shù)的差。</p><p class="ql-block"> ○ </p><p class="ql-block"> 7 1 </p><p class="ql-block"> ○ ○ </p><p class="ql-block"> 6 2 </p><p class="ql-block">○ ○ </p><p class="ql-block"> 5 3 </p><p class="ql-block"> ○ 4 ○</p> <p class="ql-block">這類題，出題很容易。隨便換一個(gè)數(shù)作為七數(shù)之和都有解。但解題就不那么容易了。 </p><p class="ql-block">通常我們會(huì)建立一個(gè)方程式。如本題，設(shè)最上面圓圈里的數(shù)為x；其它六個(gè)數(shù)大于或小于x的那部分?jǐn)?shù)值之和，設(shè)為y。列方程顯示以下關(guān)系：</p><p class="ql-block">7x+y=1997 </p><p class="ql-block">此題難點(diǎn)在于y值的確定，需要將已知相鄰兩數(shù)之間的差轉(zhuǎn)換為對(duì)x的增減值(它們的和可稱之為“待選y值”)；同時(shí)還要從多個(gè)待選y值中找到能使本題中7x+y=1997成立(即x為正整數(shù))的y值。因?yàn)橛?jì)算量大，考生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)做出正確答案有難度。 </p><p class="ql-block">我們先看看試卷后附的解題方案，一般是出題人給出的答案，作為判分的參考，通常被視作標(biāo)準(zhǔn)答案。 </p><p class="ql-block">【解答】解：設(shè)最上面的數(shù)為A，由題意得：因?yàn)?加到7的和是28，所以加號(hào)的是14，減號(hào)的是14；</p><p class="ql-block">那么：1-2-3-4-5+6+7＝0，即：</p><p class="ql-block">A+1-2+3+4-5+6-7＝A，</p><p class="ql-block">這樣七個(gè)數(shù)分別為A，A+1，A+1-2＝A-1，A+1-2+3＝A+2，A+6，A+1，A+7，則：</p><p class="ql-block">7A+16＝1997</p><p class="ql-block">A＝283</p><p class="ql-block">（以下略） </p><p class="ql-block">以上解答，得數(shù)對(duì)，但過程不對(duì)。解題中1-2-3-4-5+6+7=0跳到A+1-2+3+4-5+6-7=A這一步，將前式中的“-3”、“-4”、“+7”改變成相反符號(hào)，沒有推導(dǎo)，毫無邏輯。 </p><p class="ql-block">我們解釋一下為什么兩式前后不一。 </p><p class="ql-block">上面的解答中，前式1-2-3-4-5+6+7，得到相應(yīng)的對(duì)x值的增減值是：1-1-4-8-13-7+0=-32；后式1-2+3+4-5+6-7，轉(zhuǎn)換得到1-1+2+6+1+7+0=16。前式的y=-32，代入方程7x+y=1997，x沒有正整數(shù)解。看來出題人知道答案，卻不知正確的解題步驟，只好在后式中通過改變數(shù)字的正負(fù)號(hào)，試出本題答案。 </p><p class="ql-block">下面我們展示一下此類題的解法。 </p><p class="ql-block">由圖示可以看出，自x的下一個(gè)數(shù)起，經(jīng)過相鄰差1到6的加減后，第6個(gè)數(shù)必是x+7或x-7。這相當(dāng)于在六個(gè)數(shù)字之間添上加減符號(hào)，使等式成立的簡單數(shù)學(xué)題，即：1 2 3 4 5 6=7；1 2 3 4 5 6=-7 (消去了等式兩邊的x)，只不過本題不僅要得到所有的添加方式，還要將相鄰兩數(shù)差轉(zhuǎn)換為對(duì)x的增減值。 </p><p class="ql-block">先來看看有幾種加減符號(hào)添加方式？</p><p class="ql-block">1到6的數(shù)字和是21，根據(jù)題意，加減后第6個(gè)數(shù)的得數(shù)是7或-7。如此，21的搭配方式有14-7=7和7-14=-7兩種。</p><p class="ql-block">先看14-7搭配：在1+2+3+4+5+6全是加號(hào)的情況下，將其中數(shù)字和等于7的數(shù)字變成負(fù)數(shù)，即滿足結(jié)果等于7的要求。這樣變負(fù)數(shù)的數(shù)字組合有四種：-1-6；-2-5；-3-4；-1-2-4。</p><p class="ql-block">接下來，要將各組合中后數(shù)對(duì)前數(shù)的增減值轉(zhuǎn)換成對(duì)x的增減值，它們的和就是y值。</p><p class="ql-block">(-1-6)：-1+2+3+4+5-6</p><p class="ql-block">y=-1×6+2×5+3×4+4×3+5×2-6=32 （余4）</p><p class="ql-block">(-2-5)：1-2+3+4-5+6</p><p class="ql-block">y=1×6-2×5+3×4+4×3-5×2+6=16 （余2）</p><p class="ql-block">(-3-4)：1+2-3-4+5+6</p><p class="ql-block">y=1×6+2×5-3×4-4×3+5×2+6=8 （余1）</p><p class="ql-block">(-1-2-4)：-1-2+3-4+5+6</p><p class="ql-block">y=-1×6-2×5+3×4-4×3+5×2+6=0 （余0）</p><p class="ql-block">四個(gè)組合得到四個(gè)待選y值，其中，只有“-2-5”組合y=16符合本題題意，得到的x是正整數(shù)。代入方程得到：7x+16=1997，解得x=(1997-16)÷7=283。</p><p class="ql-block">七個(gè)數(shù)按照“1-2+3+4-5+6”的相鄰數(shù)加減關(guān)系計(jì)算，依次為：283，284，282，285，289，284，290。 </p><p class="ql-block">此類題型中，總共有八種相鄰差的組合，除了上面14-7搭配的四種，7-14搭配也是四種，即：</p><p class="ql-block">(+1+6)：1-2-3-4-5+6</p><p class="ql-block">y=1×6-2×5-3×4-4×3-5×2+6=-32 （余3）</p><p class="ql-block">(+2+5)：-1+2-3-4+5-6</p><p class="ql-block">y=-1×6+2×5-3×4-4×3+5×2-6=-16 （余5）</p><p class="ql-block">(+3+4)：-1-2+3+4-5-6</p><p class="ql-block">y=-1×6-2×5+3×4+4×3-5×2-6=-8 （余6）</p><p class="ql-block">(+1+2+4)：1+2-3+4-5-6</p><p class="ql-block">y=1×6+2×5-3×4+4×3-5×2-6=0 （余0）</p><p class="ql-block">以上組合經(jīng)過換算，也得到四個(gè)待選y值，與上述14-7搭配的四個(gè)待選y值合在一起，全部待選y值共有七個(gè)：0、±8、±16、±32。 </p><p class="ql-block">這七個(gè)y值，涵蓋了此類題的所有情況，分別對(duì)應(yīng)以下七種情形：</p><p class="ql-block">1. 七數(shù)和被7整除，y=0，適用“-1-2+3-4+5+6”和“1+2-3+4-5-6”兩種組合。</p><p class="ql-block">2. 七數(shù)和除以7余1，y=8，適用“1+2-3-4+5+6”組合。</p><p class="ql-block">3. 七數(shù)和除以7余2，y=16，適用“1-2+3+4-5+6”組合。</p><p class="ql-block">4 七數(shù)和除以7余3，y=-32，適用“1-2-3-4-5+6”組合。</p><p class="ql-block">5. 七數(shù)和除以7余4，y=32，適用“-1+2+3+4+5-6”組合。</p><p class="ql-block">6. 七數(shù)和除以7余5，y=-16，適用“-1+2-3-4+5-6”組合。</p><p class="ql-block">7. 七數(shù)和除以7余6，y=-8，適用“-1-2+3+4-5-6”組合。 </p><p class="ql-block">如將本題型中相鄰數(shù)的七個(gè)差改換成差大于1的等差數(shù)列，也能用相同的方法得到七個(gè)待選y值，輕松完成解題。 </p><p class="ql-block">本題要求解出7個(gè)得數(shù)，計(jì)算中要多次轉(zhuǎn)換，比較麻煩，用EXCEL函數(shù)自動(dòng)計(jì)算相當(dāng)方便，計(jì)算方法在文后介紹。</p> <p class="ql-block">再來看同一屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽中的一道題。 </p><p class="ql-block">第十三屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題第一部分第6題： </p><p class="ql-block">圖中的六條線分別連接著九個(gè)○，其中一個(gè)○里的數(shù)字是6。請(qǐng)你選九個(gè)連續(xù)自然數(shù)（包括6在內(nèi)），填入○內(nèi)，使每條線上各數(shù)的和都等于23。</p> <p class="ql-block">先看試卷后附的參考答案。 </p><p class="ql-block">參考答案正確地計(jì)算并推導(dǎo)出九個(gè)連續(xù)自然數(shù)是4到12，并確定最右邊豎線上的兩數(shù)只能是11和12，分別設(shè)為x和y。中層的兩個(gè)未填入數(shù)字，左邊的設(shè)為c，右邊的設(shè)為f。 </p><p class="ql-block">答案接著推導(dǎo)，7若不是與x或y在一條線上，則23-7=16，只能表示成10+6，而過7的線卻有兩條，所以必須f=7。 </p><p class="ql-block">它的意思是說，如果f≠7，則c=7。此時(shí)7可以和10、6在一條線上，但無法和9、7在另外一條線上，因?yàn)?重復(fù)了。由此確定f=7。 </p><p class="ql-block">這個(gè)推理不充分，既沒有排除7在x或y的同一條線上有其它位置的可能，也沒有排除f值可以是7以外的其它數(shù)。f=7的論證不周全。 </p><p class="ql-block">以下是推薦的解法。 </p><p class="ql-block">解：填入圓圈內(nèi)的九個(gè)數(shù)，在六條線上的數(shù)字相加中，除了數(shù)字6加了一次之外，其余八個(gè)數(shù)都加了兩次。設(shè)連續(xù)數(shù)中最小數(shù)為n，最大數(shù)為n+8，列方程：</p><p class="ql-block">(n+n+8)/2×9×2-6=23×6</p><p class="ql-block">(2n+8)×9-6=138</p><p class="ql-block">18n+66=138</p><p class="ql-block">n=4 (最小數(shù))</p><p class="ql-block">n+8=12 (最大數(shù)) </p><p class="ql-block">設(shè)未知數(shù)如下：</p><p class="ql-block">a d g</p><p class="ql-block">6 c f</p><p class="ql-block">b e h </p><p class="ql-block">由圖中各數(shù)位置可知：</p><p class="ql-block">g+h=23 (1)</p><p class="ql-block">由于：</p><p class="ql-block">2c+d+e+23-6=46</p><p class="ql-block">2f+d+e+23=46</p><p class="ql-block">以上兩方程聯(lián)立：</p><p class="ql-block">2c+23-6=2f+23</p><p class="ql-block">c=f+3 (2)</p><p class="ql-block">由(1)式得到：</p><p class="ql-block">g=12</p><p class="ql-block">h=11 </p><p class="ql-block">用排除法確定f值：</p><p class="ql-block">f≠4。若f=4，由(2)式c=f+3，c=7。由于f=4和12在同一條直線上，線上第三個(gè)數(shù)只能是7，與c=7重復(fù)，不合題意。</p><p class="ql-block">f≠5。若f=5，5和12在同一條直線上，線上第三個(gè)數(shù)是6。因6已占用，不合題意。同理，f≠6。</p><p class="ql-block">f=7。若f=7，由(2)式，c=10，10是此時(shí)可選的最大數(shù)，即f不能大于7。至此，f值的唯一選擇是7。 </p><p class="ql-block">填入推導(dǎo)出的已知數(shù)： </p><p class="ql-block">a d 12</p><p class="ql-block">6 10 7</p><p class="ql-block">b e 11 </p><p class="ql-block">依次求出：</p><p class="ql-block">d=5</p><p class="ql-block">e=4</p><p class="ql-block">a=9</p><p class="ql-block">b=8 </p><p class="ql-block">全部數(shù)字填充如下： </p><p class="ql-block">9 5 12</p><p class="ql-block">6 10 7</p><p class="ql-block">8 4 11 </p><p class="ql-block">下面這道題，也是迎春杯賽的試題。 </p><p class="ql-block">請(qǐng)?jiān)诘忍?hào)左邊的數(shù)字之間填入加號(hào)或減號(hào)，使等式成立。 </p><p class="ql-block">23456789=101 </p><p class="ql-block">此題未見標(biāo)準(zhǔn)答案，需要有清晰的解題思路，才能快速找到此題答案。有興趣的朋友，可以試解一下。 </p><p class="ql-block">寫于24年愚人節(jié)。</p><p class="ql-block">注：本文發(fā)表后，陸續(xù)發(fā)現(xiàn)還有數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的“標(biāo)準(zhǔn)答案”，差強(qiáng)人意，解題缺乏章法。為此增加例題如下：</p> <p class="ql-block">2022年迎春杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽小學(xué)高年級(jí)組決賽試卷C</p><p class="ql-block">第二部分第6題 </p><p class="ql-block">將0～9分別填入到上圖的10個(gè)圓圈中，使得各條直線上圓圈中所填數(shù)的和都相等．現(xiàn)已將1填入，那么圓圈A、B、C、D中所填數(shù)字依次組成的四位數(shù)是__________．</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"> E F 1</p><p class="ql-block"> G</p><p class="ql-block"> H I</p><p class="ql-block">A B C D</p><p class="ql-block">(各個(gè)數(shù)字的位置圖) </p><p class="ql-block">本題試卷的后附答案，列了一個(gè)方程，計(jì)算出每條直線的三數(shù)之和，然后進(jìn)行各種數(shù)字試填，令人眼花繚亂。 </p><p class="ql-block">既合理又簡潔的解法是：列出四個(gè)方程，得出三組數(shù)字，簡單搭配后即得到答案。見下。 </p><p class="ql-block">首先，設(shè)每條直線上的數(shù)字和為S。0-9的十個(gè)數(shù)字和為45。圖中位置待定的九個(gè)數(shù)分別用A-I表示。列方程：</p><p class="ql-block">45×2-F=6S</p><p class="ql-block">(十個(gè)數(shù)字和的兩倍減去F等于六條線上數(shù)字相加的總和) </p><p class="ql-block">由于F是個(gè)位數(shù)，有：</p><p class="ql-block">F=0或6</p><p class="ql-block">若F=0，S=14。E也是個(gè)位數(shù)，E=14-0-1=13不合題意。</p><p class="ql-block">因此，F(xiàn)=6，S=14，E=14-1-6=7。 </p><p class="ql-block">利用三角形三條線上的數(shù)字關(guān)系列方程：</p><p class="ql-block">14×3=45-14+A+D+G</p><p class="ql-block">A+D+G=11</p><p class="ql-block">在待填入數(shù)字0,2,3,4,5,8,9中，三數(shù)之和等于11的數(shù)字組合有：0,2,9；0,3,8；2,4,5。</p><p class="ql-block">先看038組合：當(dāng)3和8在同一條直線上時(shí)，直線上只能再有一個(gè)數(shù)，而且只能是3，但3已占用。排除。</p><p class="ql-block">再看245組合：當(dāng)2和5在同一條直線上時(shí)，第三個(gè)數(shù)是7，已占用；若2和5填入最下面橫線的兩端，另外兩數(shù)B+C只可以是3+4，但4已占用。排除。 </p><p class="ql-block">至此，三角形三頂點(diǎn)只能填入0,2,9，最下面的橫線上四數(shù)為2、4、8、0。全部數(shù)字填充如下： </p><p class="ql-block"> 7 6 1</p><p class="ql-block"> 9</p><p class="ql-block"> 3 5</p><p class="ql-block">2 4 8 0 </p><p class="ql-block">接下來是所謂的“標(biāo)準(zhǔn)答案”，即試卷后附的答案。對(duì)比一下解題過程。 </p><p class="ql-block">〖解析〗</p><p class="ql-block">共6條直線，除了F只在1條直線上，其余圓圈都恰好在2條直線上．設(shè)每條直線上圓圈中所填數(shù)的和為S，則6S＝(0+1+2+…+9)×2－F． </p><p class="ql-block">由6|F得F為0或6．若F＝0，則S＝15，E＝14，矛盾！ </p><p class="ql-block">∴F＝6，從而S＝14，E＝7． </p><p class="ql-block">若9在A~D中，則14＝9+5＝9+0+2+3，而C≥14-1-9＝4，只能C＝9，從而I＝4，H≤14-7-2＝5，8只能在G，D＝14-8-4＝2，余下5在H，B ＝14-7-5＝2，矛盾！ </p><p class="ql-block">∴9不在A~D中，G＝9或I＝9． </p><p class="ql-block">若I＝9，8不能與7或9同直線，只能A＝8，從而B+D＝14-8-4＝2＝2+0，B＝2，D＝0，得H＝14-7-2＝5，G＝14-9-0＝5，矛盾！I≠9 </p><p class="ql-block">∴G＝9．8不能與7或9同直線，只能C＝8． </p><p class="ql-block">從而I＝14-1-8＝5，D＝14-9-5＝0，A＝45-14×2-6-9-0＝2， </p><p class="ql-block">B＝14-2-8-0＝4，H＝14-7-4＝3，如右圖． </p><p class="ql-block">∴圓圈A、B、C、D中所填數(shù)字依次組成的四位數(shù)是2480。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">附：EXCEL解題一例</p> <p class="ql-block">上圖為EXCEL工作表，只需要在B15格內(nèi)輸入任意數(shù)作為總數(shù)，就可以得到7個(gè)數(shù)的值。其自動(dòng)運(yùn)算過程如下：</p><p class="ql-block">當(dāng)B15中輸入一個(gè)數(shù)字，在C15中用MOD函數(shù)計(jì)算出該數(shù)字除以7的余數(shù)，在D15中用IFS函數(shù)給出該余數(shù)對(duì)應(yīng)的Y值，在E15中計(jì)算出X的值 --（總數(shù)-Y)÷7的得數(shù)。</p><p class="ql-block">接下來計(jì)算其它6數(shù)的值。除以7的余數(shù)有7個(gè)，余數(shù)不同，7個(gè)數(shù)中彼此加減關(guān)系也不同。我們?cè)贐18到B25的格子里用IF函數(shù)去找A18到A25中與C15中相同的余數(shù)，找到后該行B列格中填入E15的值，即X的值。</p><p class="ql-block">本圖中，我們?cè)贐15中隨機(jī)輸入了8995，余數(shù)為0，程序檢測(cè)到與A24和A25的值相同，0對(duì)應(yīng)著兩種加減模式，24和25這兩行中通過函數(shù)自動(dòng)加減，得到第2到第7個(gè)數(shù)的值，從而解出本題兩組解。</p>