盤點網(wǎng)課中越講越糊涂的數(shù)學題

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因新冠疫情，近來網(wǎng)課盛行。看到網(wǎng)上熱議：“為什么孩子上了補習班，成績越來越差?”沒機會接觸補習班的老師。到網(wǎng)上轉了一圈，看到不少“教育達人”在講解奧數(shù)題，為教輔機構做軟廣，有些還要付費才能看全。他們的水平如何呢？整體感覺不樂觀。講題中，不少講解有問題。比如，明明是數(shù)學題，偏偏不用數(shù)學方法解題，去湊數(shù)；有簡單直接的方法，卻用要繞個大圈子，用最笨的方法解題。 本美篇從2024年愚人節(jié)起，改為將更新的內(nèi)容提到前面發(fā)表。 題44 (更新時間：2024年4月2日) 漢字猜數(shù)字 (見下圖) 此題作為全國競賽題，本來是迷惑那些循規(guī)蹈矩的考生的，拉分題，可它把自媒體數(shù)學老師也忽悠了?？瓷厦孢@位老師洋洋灑灑推導了一大篇，似乎有理，其實是誤入歧途，浪費了大把寶貴的考試時間。 參賽考生正常發(fā)揮，應該在一分鐘內(nèi)解出答案。 本題已知條件：五羊真美×數(shù)=42380，每個漢字是一個個位數(shù)。求“五羊真好”所代表的四個數(shù)的數(shù)字和。 轉換成除法：42380÷數(shù)=五羊真好 用排除法求“數(shù)”的值：首先， 42380是五位數(shù)，若除數(shù)(“數(shù)”)為4或4以下，商還是五位數(shù)，而”五羊真好”是四位數(shù)。因此，“數(shù)”>4。接下來繼續(xù)排除。“數(shù)”≠6，因42380的數(shù)字和是17，不能被3整除，自然不能被6整除。同理，“數(shù)”≠9。“數(shù)”≠8，因42380÷2=21195。“數(shù)”≠7，因42380÷7，余數(shù)為2。也就是說，42380這個數(shù)中不含因數(shù)6、7、8、9。“數(shù)”=5是唯一選擇。42380÷5=84768+4+7+6=25答案為D：”五”+”羊”+”真”+”好””=25 當然，考生不需要寫出解答過程，所以，一分鐘足以給出答案。 下面找來八道平臺推送的數(shù)學題，看看網(wǎng)課老師的解題方法和學霸解法，對比之下，是不是覺得老師還不如學霸？題1，一年級奧數(shù)題，填數(shù)字(見下圖) 老師居然讓學生在9到13的范圍內(nèi)湊數(shù)字，明擺著的數(shù)學方法不用。 學霸解法，第一步，求4個數(shù)的和：13+6=19第二步，19減去下面2個數(shù)的和（10），得數(shù)9為上面兩數(shù)之和。因上面兩個數(shù)相加和相減都等于9，則被減數(shù)只能是9，減數(shù)只能為0 (也可用a+b=9和a-b=9表示)。 題2：28a+30b+31c=365 （見下圖） 這道題大概是“老師”拼湊出來，不是通過計算，而是用歷法去解題，夠奇葩的，是教常識的老師嗎？ 學霸解法，思路是這樣的：這類題有無窮解，這里是求非負數(shù)的解。1) 若a=1 30b+31c=365-28=337c=7  (使相減后個位數(shù)為零，看看30b是否能被整除)30b=337-217=120b=42)若a=230b+31c=365-56=309c=9  (使相減后個位數(shù)為零，看看30b是否能被整除))30b=309-279=30b=1得出兩組解：a=1 b=4c=7和a=2b=1c=9  題3：一個三位數(shù)是35的倍數(shù)，各數(shù)位上的和為15，求這個三位數(shù)（見下圖）。 講題人漏掉了該數(shù)能被3整除這個條件，解題方法也太過復雜。 學霸解法：本題條件之一位數(shù)和為15，則此數(shù)還可被3整除，也就是該數(shù)是105的倍數(shù)。排除偶數(shù)倍數(shù)（105乘以偶數(shù)，積的個位數(shù)為0，十位數(shù)最大為4，位數(shù)和小于15），而105已經(jīng)是三位數(shù)，則只能從3、5、7、9這四個數(shù)中選擇，容易找到7的倍數(shù)，答案為735。 也可列方程直接解：已知該數(shù)有兩個因數(shù)35和3，設該數(shù)為105x。x只能是一位數(shù)，且為奇數(shù)（若x為偶數(shù)，數(shù)位和將小于15），因而105x的個位數(shù)只能是5，列方程：15-5-x=(5x-5)÷10100-10x=5x-515x=105x=7105x=105×7=735 題4：某數(shù)除以5余2，除以7余6，除以11余6，此數(shù)最小是多少? （見下圖） 講題老師似乎不太清楚余數(shù)的概念，解題思路混亂，講不出道理，像是在湊數(shù)。 學霸解法：本題符合后兩個條件的數(shù)為7×11+6=83，以及83加77的倍數(shù)(83+77n)；前一個條件除以5余2，顯示該數(shù)的個位數(shù)為2或7，用83加兩次77（符合后兩個條件）后個位數(shù)為7，即83+77×2=237，為本題答案。（此數(shù)的其他解為237加385的正整數(shù)倍數(shù)之和，即237+385n） 題5：兩個數(shù)的最大公約數(shù)是15，最小公倍數(shù)是90，求這兩個數(shù)（見下圖）。 講題人的方法太笨，去湊數(shù)，難怪跟帖說“這課講得糊涂”。 學霸解法：此題要點是設甲數(shù)為15a，乙數(shù)為15b，列等式：15a×15b÷15=90 （甲乙相乘再除以最大公約數(shù)即為最小公倍數(shù)）15ab=90 ab=6因a、b為正整數(shù)，得到：a=1, b=6或a=2, b=3兩數(shù)15a、15b,一組解是15和90，另一組解是30和45。 題6：小明買某種畫片花了2.16元。若這種畫片的單價便宜1分錢，可以多得到3張畫片。問小明實際購買的畫片數(shù)量和單價是多少? （見下圖） 講題人通過列出216的所有因數(shù)湊出答案，如果條件改一下就不那么容易湊答案了吧？ 學霸解法：設畫片數(shù)量x，單價y。列方程：xy=216   (1)(x+3)(y-1)=216   (2)（2）式展開：xy-x+3y=219   (3)(3)式-(1)式：3y-x=3化簡：x=3y-3=3(y-1)將上式代入(1)式：3(y-1)y=216化簡：y(y-1)=72=9×8得到：y=9x=24 題7：一個數(shù)除9余1，除8余3，除7余2，該數(shù)最小是幾？（見下圖） 講題人對余數(shù)的概念不清楚，繞了一大圈來解題。 學霸解法：此題是先將后兩個條件的余數(shù)轉化為缺少數(shù)，即都缺5袋，符合后兩個條件的數(shù)是8×7-5=51，以及51加56的倍數(shù)（51+56n），然后在這些數(shù)里找符合除以9余1的最小數(shù)。因51除以9余6，56除以9余2，將51、56、56這三個數(shù)分別除以9的余數(shù)加起來是10，10除以9余1，符合條件，該數(shù)最小為51+56×2=163。 題8：一自然數(shù)，用它除226余a，除411余a+1，除527余a+2，求a。（見下圖） 講題人的方法不好理解，直接列方程解不簡單嗎？ 學霸解法：設該自然數(shù)為x，三個數(shù)的商分別為p、m、n，列方程：px+a=226  （1）mx+a+1=411  （2）nx+a+2=527  （3）(3)式減去(2)式：nx-mx=115  x=115/(n-m)因x為正整數(shù)，則n-m=5 （若n-m=23，則x=5，不符合題設條件）x=23a=19（驗算后證明成立） 借此提醒家長，像上面這樣的網(wǎng)課，花不花錢都不要去學，浪費時間，誤人子弟。 寫于2021年4月8日 4月14日更新：題9，旅店為團體游客安排房間。若住3人間，則多出16人，若安排5人間，則恰好安排完，這個團多少人？（見下圖） 數(shù)學老師語文不及格，此題的文字敘述產(chǎn)生歧義?？梢杂袃煞N解讀，并因此出現(xiàn)兩個不同的答案，如下： 題9a：旅店為旅游團安排房間，有若干3人間和5人間。若全部住3人間，會有16人無床位；而全部住5人間，則剛好安排完。問旅游團至少有多少人? 設3人間的數(shù)量為x，5人間的數(shù)量為y，列方程： 3x+16=5y x=(5y-16)÷3當y=5+3n時，x有正整數(shù)解（n=0,1,2……）。5y=25+15n當n=0時，旅游團人數(shù)最少，為25人。 題9b：旅店為旅游團安排房間?，F(xiàn)有若干房間。如果每個房間放置3張床，缺16個床位。如果每個房間放置5張床，則剛好安排完。問旅游團共有多少人? 設房間數(shù)量為x，列方程：3x+16=5xx=85x=40 旅游團共有40人。 此題可改成為學校新生安排宿舍。按照現(xiàn)有宿舍3人一間和5人一間設定不同結果，這樣就不會產(chǎn)生歧義了。 4月25日更新：題10：求2461×135×6047÷11的余數(shù)（見下圖） 此題老師講解中的計算方法太笨了，他竟然不知道11整除的特性嗎? 掃盲一下定理：一個多位數(shù)如果能被11整除，則此數(shù)奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和相減后的差能被11整除或等于0。 解：利用上述定理，分別算出各余數(shù)： 與2461最接近能被11整除的數(shù)是2464(因2+6-4-4=0)，即2461加3能被11整除，轉換成2461減8能被11整除，顯然余數(shù)為8。 與135最接近能被11整除的數(shù)是132，顯然135除以11的余數(shù)為3。 與6047最接近能被11整除的數(shù)是6050（因6+5-0-0=11），和2461一樣，少3就是余8，即余數(shù)是8。 接下來將3個余數(shù)相乘：8×3×8=192因192加6能被11整除，少6就是余5，因此答案余數(shù)是5。 5月4日更新：題11：已知正整數(shù)A、B之差是90，兩數(shù)的最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的66倍，求兩數(shù)中較大的數(shù)（見下圖）。 講題人用方程解本題，卻不知如何設其中兩個未知數(shù)，只好用兩個方框代替。對于最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)這類題，雖然題目不要求解出最大公約數(shù)，但將最大公約數(shù)設為未知數(shù)可以使解題過程簡單和容易理解。 解：設最大公約數(shù)為m，A（兩數(shù)中較大的數(shù)）為am，B為bm，則abm為最小公倍數(shù)，列方程：am-bm=90 (a-b)m=90 (1)abm/m=66 ab=66 (2) 因a>b，a中必含有因數(shù)11，設a=11c，代入（2）式b=66/11c (3)代入（1）式(11c-66/11c)m=90(11c-6/c)m=90 c等于1、2、3或6時，6/c是正整數(shù)，其中只有c=1時，11c-6/c才能被90整除，得到：c=1a=11b=6m=18am=198bm=108即：A=198B=108 解題過程簡單明了：列方程，求出正整數(shù)解。 5月22日更新 題12：37分為3個數(shù)，甲乙丙的乘積是1440，甲乙的積和丙的差為12，求甲乙丙三個數(shù)是多少（見下圖）。 講題人邊講題邊改題目條件（原題中加了“3倍”兩字），太隨意了。此題本身有問題：第一，三數(shù)之和37這個條件是多余的；第二，改正原題錯誤，只須把12改成52，簡單直接，不用改加“3倍”。以下為改正后題目。 題12（改）：甲乙丙三個自然數(shù)的乘積是1440，甲乙的乘積減去丙等于52，當甲乙之和最小時，甲乙丙三個數(shù)各是多少。 解：列方程：abc=1440 （1）ab-52=c   （2）ab=c+52    (3)將(3)式ab的值代入（1）式c(c+52)=1440c^2+52c=1440用配方法c^2+52c+26^2=1440+26^2（c+26）^2=2116c+26=46 （本題只求正整數(shù)的值）c=20將c值代入（2）式ab=20+52=7272可以是多組兩兩因數(shù)的乘積，其中兩因數(shù)之和最小的一組是8和9，即a=8b=9 5月29日更新 題13：一個數(shù)除200余5，除300余1，除400余10，這個數(shù)是多少？（見下圖） 本題講題老師用找公因數(shù)的方法求解沒問題。用方程解也是一種思路，是不是更簡單? 解：列方程，設除數(shù)為x：ax+5=200 (1)bx+1=300 (2)cx+10=400 (3)令（1）+（2）-（3）后得到：ax+bx-cx=104即：(a+b-c)x=8×13由于x是奇數(shù)（除300余1），104的因數(shù)中只有13是奇數(shù)，因此取a+b-c=8x=13 6月2日更新 題14：一個數(shù)可以同時表示為九個連續(xù)自然數(shù)之和，十個連續(xù)自然數(shù)之和，十一個連續(xù)自然數(shù)之和，問這個數(shù)最小是（    ）。(見下圖) 此題講題人只講結果，不講結果是怎么來的，這樣教出來的學生只知其然，不知其所以然。 學生通常會問：這里講的用連續(xù)數(shù)的個數(shù)相乘的方法可以用到個數(shù)不同的其他三組連續(xù)數(shù)上嗎？ 先解題：設此數(shù)為x，連續(xù)數(shù)的中位數(shù)分別為a, b, c，其中b是第二組連續(xù)數(shù)中間的兩個數(shù)靠前的數(shù)，列方程：x=9a=10b+5=11c9a=5(2b+1)=11c當c=45n（n=1,2,3…）時，a和b有正整數(shù)解。n=1c=45b=49a=55x=495 從等式9a=5(2b+1)=11c可以看出，該自然數(shù)是9、5和11的倍數(shù)，即首尾兩組連續(xù)數(shù)的個數(shù)以及中間一組連續(xù)數(shù)的個數(shù)的一半，這三個數(shù)的乘積就是該最小數(shù)。 下面把題的條件改一下，看上面的計算公式是否成立。 我們把上題的三組連續(xù)數(shù)的個數(shù)改為12個、13個和14個。 解：設此數(shù)為x，連續(xù)數(shù)的中位數(shù)分別為a, b, c，其中b是第二組連續(xù)數(shù)中間的兩個數(shù)靠前的數(shù)，列方程：x=12a+6=13b=14c+7等式中14c+7的和是奇數(shù)，而12a+6的和則是偶數(shù)，此方程無整數(shù)解。 我們再多試幾組，會發(fā)現(xiàn)三組連續(xù)數(shù)中首尾兩組連續(xù)數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)的，有正整數(shù)解，也符合上面的推斷：首尾兩組連續(xù)數(shù)的個數(shù)與中間一組連續(xù)數(shù)的個數(shù)的一半，這三個數(shù)的乘積就是這個數(shù)的最小數(shù)。如下例： 將三組連續(xù)數(shù)的個數(shù)設定為11個、12個和13個。 x=11a=12b+6=13c11a=6(2b+1)=13c當c=66n（n=1,2,3…）時，a和b有正整數(shù)解。n=1c=66a=78b=71x=858858=11×6×13 通過測試可以推斷，三組連續(xù)數(shù)的個數(shù)均為奇數(shù)，或兩組個數(shù)為奇數(shù)，一組個數(shù)為偶數(shù)的，有解；三組連續(xù)數(shù)的個數(shù)均為偶數(shù)，或兩組個數(shù)為偶數(shù)，一組個數(shù)為奇數(shù)的，大多數(shù)無解（個別組合，如12，20，28，有解）。 注：本題還可轉換成同余式求解，更簡單，即x=9a=10b+5=11c的方程式可看作：一個自然數(shù)能夠被9和11整除，同時除以10余5。 滿足被9和11整除條件的數(shù)是99n(n=1,2,3,…)。從99n中尋找除以10余5的數(shù)，當n=5時，99×5=495是符合條件的最小數(shù)。符合條件的所有數(shù)為495+990n(n=1,2,3,…)。 6月17日更新 題15：在空格里填數(shù)，使每一橫行、豎行、斜行三個數(shù)相加得15（填入數(shù)字1-9）。（見下圖） 講題人是在試著填數(shù)，中間為什么必須填入“5”這個數(shù)也沒有講理由，完全沒有使用數(shù)學方法。另外，本題條件中相加等于15是多余條件，只說明相加的和相等即可。 用數(shù)學方法解此題： 1. 先找出共同的和。 九宮格橫豎共有6組三個數(shù)相加，1-9這9個數(shù)在6組數(shù)中每個數(shù)出現(xiàn)兩次。 計算：1-9相加等于45，每個數(shù)出現(xiàn)兩次即兩倍是90。一共6組，計算出每組三個數(shù)的和為15（90÷6=15）。 2.求九宮格中間空格中的數(shù)。 九宮格十字行和斜行共4組12個數(shù)，其中8個數(shù)出現(xiàn)一次，一個數(shù)（即中間空格里的數(shù)）出現(xiàn)4次。每組三個數(shù)相加是15，4組數(shù)相加的和是60，設中間空格里的數(shù)為x，列方程：45+3x=60x=5 3. 填數(shù)九宮格中間填5，其他按1和9、2和8、3和7、4和6分組填入各行，填數(shù)時稍需注意使九宮格外圈4行中各行的和也等于15。 8月30日更新 題16：有一個整數(shù)，用它去除70、98和143得到三個余數(shù)的和為29，則這個數(shù)是（）。見下圖。 這是一道與余數(shù)有關的題，本題講題老師選擇了最復雜的講解。 先解讀一下截圖中的符號。 本題已知三個被除數(shù)70、98和143，以及三個余數(shù)的和29。截圖中的“（）”代表除數(shù)，“□1”、“□2”、“□3”分別代表三個商數(shù)，“★1”、“★2”、“★3”分別代表三個余數(shù)。需要求解的是除數(shù)。 解：設除數(shù)為x，三個商分別為a、b、c。本題的關系是：被除數(shù)減去除數(shù)和商的乘積等于余數(shù)。列方程：70-ax+98-bx+143-cx=29311-(a+b+c)x=29(a+b+c)x=311-29=282=2×3×47從余數(shù)和為29可知，除數(shù)必須大于9，且小于最小的被除數(shù)70(即70>x>9)。因式中的3和2以及二者的乘積6均小于9，而2或3乘47的積又大于70，因此x只能是47。由于求解的只是除數(shù)，則無須計算a、b、c三個商數(shù)的值。三個余數(shù)也無須設成未知數(shù)去求解。 答案是：三個數(shù)的共同除數(shù)為47。 9月1日更新9月1日開學，看看今天百度推薦的數(shù)學老師講題。 題17(見下圖)本題解題第一步就可以得到c與d的和，再與已知c與d的差組成方程組就可得到c與d的數(shù)值，如此簡單明了的題，講課老師卻要繞著彎去求c-d的值。 解：本題已知a與c的和、b與d的和，以及a與b的和，前兩數(shù)相加減去后者，就是c與d的和，如下。已知：a+b=8 (1)a+c=13 (2)b+d=8 (3)c-d=6 (4)用(2)+(3)-(1)得到13+8-8=13，即c+d=13 (5)(5)式與(4)式組成以下方程組：c+d=13 c-d=6得到c=9.5d=3.5代入(2)式，得到：a=3.5代入(3)式，得到：b=4.5 如果是教培機構的老師，機構應該主動退學費了。 9月19日更新下圖據(jù)講課老師說，是美國小學生競賽中的一道題，美國學生算不出來，中國小學生秒算。 不認同網(wǎng)課老師的解題方法：能坐車為何偏要徒步? 解：設前三位數(shù)為a，后三位數(shù)為c，中間一位數(shù)為b。列方程：10a+b+c=9102 (1)a+1000b+c=10335 (2)(2)式-(1)式：999b-9a=1233 111b=137+a (3)a和c均為三位數(shù)，b為千位上的數(shù)字，由(2)式可知，一個四位數(shù)與兩個三位數(shù)相加，和為五位數(shù)，即三個數(shù)相加后進位到萬位數(shù)，則千位數(shù)上的b必為9。取b=9，a=999-137=862代入(2)式：c=10335-9862=473 該七位數(shù)為8629473。 10月7日更新 題19三個質數(shù)的積是它們和的5倍，求這三個數(shù)的和(見下圖)。 　　講課老師的第一步?jīng)]問題：三個數(shù)中一定有一個質數(shù)5，即 5bc=5(5+b+c)bc=5+b+c 到了這一步，可以直接解此方程，求出b和c的正整數(shù)值。比老師的解法簡單。 b(c-1)=5+cb=(5+c)/(c-1) =6/c-1+1c的取值范圍：7>=c>1用質數(shù)試未知數(shù)c的值，當c=2和7時，b=7和2，兩組數(shù)均為質數(shù)，符合題意。 如此，得出a=5, b=7, c=2，它們的和是14。 11月7日更新題20已知：a+2b+3c=0 (1)a-2b+4c=20 (2)求a+10b+c的值（見下圖）。 　　解題老師提供了兩種解法--法一、法二，以下的法三是不是簡單又不燒腦： 解：設已知兩式為(1)、(2)，(2)-(1)得到：c=20+4b (3)(3)式代入(1)：a+14b+60=0 (4)(3)式代入下式：a+10b+c=a+14b+20(4)式變形為：a+14b+20=-40 即a+10b+c=-40 11月5日更新題21 已知xy+xy=120, xy+x+y=23, 求x+y（見下圖）。 　　這道題，出題者不知所謂。 解題很容易，直觀：xy=60，x+y=23-60=-37 但是，解出的這個值無法還原回去。 下面繼續(xù)求出x和y。 (x+y)^2=1369 x^2+2xy+y^2=1369 x^2+y^2=1249 由于x+y=-37，xy=60，接近的組合只有 -2，-35，但二者的積為70。明顯題出錯了。 改為：已知xy+xy=140, xy+x+y=33, 求x+y。 x+y=33-70=-37 (x+y)^2=1369 x^2+y^2=1369-140=1229 (-2)^2+(-35)^2=4+1225 x=-2, y=-35 11月19日更新 題22甲數(shù)除以乙數(shù)，乙數(shù)除以丙數(shù)，商相等，余數(shù)都是2。甲乙兩數(shù)之和是478，那么甲乙丙三數(shù)之和是多少？（見下圖） 此題標題為“小升初考試題（余數(shù)問題）”，看講課人解題過程，實為故弄玄虛，為賦新詞強說愁：由于選擇了商為1，此題就是一道簡單求和差的題，無須設商為未知數(shù)。原題可改寫為：甲數(shù)與乙數(shù)，乙數(shù)與丙數(shù)，均相差2。甲乙兩數(shù)之和為478，求甲乙丙三數(shù)之和。設三數(shù)為x、y、z，則有：x-y=2x+y=478y-z=2x+y+z=478+236=714 余數(shù)題是通過已知的一組除數(shù)和余數(shù)，求出該被除數(shù)的值。由于符合條件的數(shù)不可窮盡，通常取最小的正整數(shù)為特解，俗稱“韓信點兵法”。本題與數(shù)學中的余數(shù)問題無關，但可以改寫成求除數(shù)、被除數(shù)和商的題，如下： 甲數(shù)除以乙數(shù)，乙數(shù)除以丙數(shù)，商相等，余數(shù)都是2。甲乙兩數(shù)之和是478，問甲乙丙三數(shù)之和最小是多少？ 設甲乙丙三數(shù)分別為x、y、z，商為a，則有：x=ay+2 (1)y=az+2 (2)x+y=478 (3)(1)式代入(3)式：ay+2+y=478y=476/(a+1) (4)476因式分解為2×2×7×17z=(y-2)/a (5)當a+1=2、4、7、17時，476能被整除，x和y有正整數(shù)解，但a+1僅在等于2、4和7時，z有正整數(shù)解，即a=1、3和6時，三數(shù)均為正整數(shù)，此為正解。與a=1和a=3相比，取a=6，x、y、z三數(shù)之和更?。?lt;/p>將a=6代入(4)式：y=68y值代入(3)式：x=410y值代入(5)式：z=11x+y+z=489 對比以上兩種解題方法可以看出，刻意地用湊數(shù)的辦法解題不可取，小學階段應盡早接觸多元一次方程，以此獲得此類數(shù)學題的通解和特解。 11月27日更新題23有三個年輕人去釣魚，分別是小張、小王、小李。他們把釣到的魚擺在一起，小張有事先回去，他把魚平均分成三份后多一條，把這條扔掉，拿走其中的一份。后來小王也有事，他把剩下的魚也平均分成三份，也多一條，他就扔掉這條魚，拿走三份中的一份就走了。最后小李也把剩下的平均分成三份，也多一條，他就扔掉這條，拿走其中的一份回家去。問這堆魚最少有多少條？（見下圖） 　　講題老師的解法：設堆魚有x條，則第一個人拿走之后還剩下2（x-1)/3,第二個人拿走之后還剩2/3[ 2/3（x-1)-1]，第三個人拿走之后剩下2/3{2/3[ 2/3（x-1)-1]-1}，對這個式子進行整理可得原式=(8x-38)/27，需要用到整除的概念。8x-38是27的倍數(shù)，8x-38=8x+16-54,則x=27t-2(t為正整數(shù)），因此當t=1時候，x=25,符合題目的意思。 以上解法，同學們看懂了嗎？ 下面推薦簡單清晰的解法，也是不定方程的通常解法：設魚的總數(shù)為3x+1，第三次分配數(shù)為3y+1，列方程：(2x-1)*2/3=3y+1上式整理得到：4x-9y=5此方程通解：x=8+9ny=3+4n(n=0,1,2,3…)當x=8時，3x+1=25此類題有一個簡單的解法：本題條件，魚的總數(shù)x被3除余1，則x+2能被3整除。通過計算驗證，方程x+2=3^3是x的最小正整數(shù)解，x=25。如改成每次分5份，分了5次，方程式為x+4=5^5。也就是說，分了幾次就是幾次方。推導出這個公式比直接解題費時間，不是現(xiàn)場發(fā)揮能做到的。 2022年1月20日更新題24，如下圖。 老師推薦的解法較復雜。如用方程解，可以直接解出來。解：設運算中用了兩次的三個數(shù)的和為a，用了三次的三個數(shù)的和為b，用了一次的三個數(shù)的和為c。九個數(shù)的和為：a+b+c=45 (1)六條邊數(shù)字相加的總和為：2a+3b+c=18×6=108 (2)(2)-(1)×2：b-c=18 (3)小三角形三條邊數(shù)字相加的總和為：2b+c=18×3=54 (4)(3)+(4)：3b=72b=24 (7,8,9三數(shù)之和)c=6 (1,2,3三數(shù)之和)a=15 (4,5,6三數(shù)之和) 還有更簡單的解法，如下： 先將九個數(shù)分成三組：1+2+3=6 4+5+6=157+8+9=24 根據(jù)圖示，三組數(shù)在六條邊的加法運算中，一組數(shù)字用了一次，一組數(shù)字用了兩次，一組數(shù)字用了三次。設每條邊上的三數(shù)之和為m，若7、8、9用了三次，方程為：6m=6+15×2+24×3=108 (1)m=18若1、2、3用了三次，方程為：6m=6×3+15×2+24=72 (2)m=12 如果選擇4、5、6用三次，則m無正整數(shù)解，可排除掉。而九個數(shù)字如果不按大小分組，也無解。 填數(shù)字（順時針）：每邊數(shù)字和為18：大三角形三頂點填入6、4、5，小三角形頂點填入1、2、3，余下圓內(nèi)填入9、7、8。每邊數(shù)字和為12：大三角形三頂點填入6、4、5，小三角形頂點填入7、8、9，余下圓內(nèi)填入3、1、2。 題25 （2022年2月1日更新）將1到9填入圓圈內(nèi)，使每條直線上的數(shù)字之和相等（如下圖）。 視頻中老師給出的方法是通過所有7條直線上的數(shù)字總和算出每條直線上的數(shù)字和。由于推算過程中需要多次湊數(shù)和試算，讓運算很麻煩。 正確的方法是先找出共同元素：找出3個數(shù)相加的5條直線，5條線上的數(shù)涵蓋了所有9個數(shù)?？梢詴翰豢紤]2個數(shù)相加的另外兩條直線。 5條線上的9個數(shù)中，6個數(shù)相加了兩次，3個數(shù)相加了一次。 1到9相加的和是45，設每條線上數(shù)字和為x，相加了一次的3個數(shù)分別為a、b、c（如圖中所示），列方程：5x=45×2-a-b-c 由于等式右邊的值必須是5的倍數(shù)，因此a、b、c之和也必須是5的倍數(shù)；同時a、b、c中的其中兩數(shù)還是另外兩條直線上兩數(shù)相加中的其中一個數(shù)，因此a、b、c中的兩個數(shù)要盡量大，符合這個條件的組合只有5-7-8、3-8-9、4-7-9、5-6-9。即：5x=90-20x=14 每條直線上的數(shù)字和為14。 在上面的4個數(shù)字組合中，只有5-7-8的組合符合題設條件。 可排除4-7-9組合：由于7加7等于14，7這個數(shù)字只能放在c位。而4加最大的數(shù)9也小于14，此組合不成立。 接著看5-6-9：5的相加數(shù)是9，無論怎么放都會重復。 再看3-8-9：3數(shù)值太小，只能放在c位。8的相加數(shù)是6，6和3在同一條直線上，則此線上第3個數(shù)是5，和9的相加數(shù)重復了；如把9的相加數(shù)5放在3的那條直線上，則線上第3個數(shù)是6，和8的相加數(shù)重復了。 題26（2022-2-16更新）：將1-7填入圓圈中，使每條直線上的三個數(shù)字之和均為12（見下圖）。 講課老師用的是枚舉法，就是一個一個的試。好笨的方法，直接計算不好嗎？ 直接計算：1-7這7個數(shù)相加，和是28，即(1+7)×7÷2=28。已知每條邊數(shù)字和為12，總共有5條邊，其數(shù)字相加總和為5×12，其中頂端圓內(nèi)數(shù)字在相加中使用了3次，其他6個數(shù)字使用了兩次，設頂端圓內(nèi)數(shù)字為x：x=5×12-28×2=4 確定了頂端圓內(nèi)數(shù)字為4，與4相關的三條邊中的相加等于12的數(shù)字組合只有1和7、2和6，以及3和5。橫向三個數(shù)相加也等于12，如第一個數(shù)選1的話，余下兩個數(shù)只能是5和6，也就是橫向的三個數(shù)其一為1、5、6，其二是7、3、2，依次填入圓內(nèi)即可。上述組合有12種填入法。 題27（2022年4月6日更新）韓信點兵 每3人一列，余1人每5人一列，余2人每7人一列，余4人每13人一列，余6人問最少有多少人？（見下圖） 老師的講解，不評論了，誰的孩子遇上這樣的老師，誰倒霉。 同余問題是說，未知數(shù)除以不同的數(shù)，有相同或不同的余數(shù)，求該未知數(shù)。這里滿足條件的未知數(shù)是一組數(shù)，通常是求出最小的正整數(shù)解。 余數(shù)（同余）題有各種解法，一般首選逐步滿足法。 本題在用逐步滿足法之前，先看看有無余數(shù)相同或缺數(shù)相同的情況。 每5人余2和每7人余4，余數(shù)雖然不同，缺數(shù)相同，都是3。 滿足上面這兩個條件最小的正整數(shù)是兩數(shù)的乘積減去缺數(shù)，即5×7-3=32。滿足條件所有的數(shù)是最小的數(shù)加上這兩個數(shù)乘積的倍數(shù)，即32+35n。 接下來要在滿足上面兩個條件的基礎上，找出同時滿足每3人余1人的數(shù)。這就需要在滿足上面兩個條件的所有數(shù)中間找，即在32+35n(n=0,1,2,3,…)中間找。 32+35=67，67符合除以3余1，第一步就找到了。 接下來，在符合上面三個條件的數(shù)的基礎上，找到同時滿足第四個條件（除13余6）的數(shù)，也就是在67+105n的數(shù)中找。 由于除數(shù)13較大，可以分步找。 首先看67。67除以13，余2，和條件中的余6少4。 再看105。105除以13，余1。要滿足余4，需要105的4倍，即在67+105n中，n=4。由此得到本題的解：67+105×4=487 而滿足本題所有四個條件的所有數(shù)是：487+1365n (n=0,1,2,3,…) 題28（2022年5月4日更新）兩個（正）整數(shù)A、B的最大公約數(shù)是c，最小公倍數(shù)是d。已知c不等于1，也不等于A或B，并且c+d=187，求A+B的和。（見下圖） 此題教培老師講得毫無邏輯性，解題過程中概念不清，缺乏數(shù)學的嚴謹性，有誤人子弟之嫌。 解：本題設了四個未知數(shù)，A、B兩數(shù)，以及最大公因數(shù)c和最小公倍數(shù)d。 因A、B有共同的因數(shù)c，兩數(shù)可另設為：A=acB=bcd=abc列方程：c+abc=187c(ab+1)=187=11×17 (排除1×187) 當c=11時，ab=16根據(jù)題意，a或b不能等于1；a和b互質，因此ab=16的所有組合(1×16，2×8，4×4)均被排除。 當c=17時，ab=10=2×5(2和5互質)，即：a=2b=5ac+bc=2×17+5×17=119 即A和B之和為119。 題29（2022年5月16日更新） 在九宮格內(nèi)填入數(shù)字1-9，圓圈內(nèi)數(shù)字是相鄰4個數(shù)字之和，請找出9個數(shù)的填入位置。（見下圖） 講題老師全程都在湊數(shù)，每每從多個選擇中去找合適的數(shù)。如果改變已知數(shù)，老師的方法就不適用了。而用方程求解，一勞永逸，可以適用于同類題型。 解：左上4個數(shù)與右下4個數(shù)相加：2E+A+B+D+F+H+I=28+23=51 (1)9數(shù)之和：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45E+A+B+D+F+H+I=45-G-C-E (2)代入(1)式：2E+45-G-C-E=51 (3)E-G-C=6E=6+G+CE=9 (E<10，2<G+C<4)C=1G=2B+C+E+F=B+1+9+F=17B+F=7=4+3 (已有1和2)B=4F=3A+B+D+E=28A+D=28-9-4=15=7+8 (已有9)A=7D=8D+E+G+H=25H=25-8-9-2=6I=5 題30 （2022年5月18日更新） 將1-16填入下圖，使每條直線上四個數(shù)之和相等。（見下圖） 這是一道變形的十六宮格填數(shù)題。此題老師的解法基本上是一個一個試，試算的次數(shù)太多，近似拼圖了。此類題未知數(shù)較多，而且又有不許重復的條件，求解中難免需要多次試算。用數(shù)學方法解題，就是要盡量減少試算。 解：1）首先從已知條件中找到更多的確定值，本題中是找出每邊的4數(shù)之和，以及菱形和正方形角上的4數(shù)之和。 求每邊4數(shù)之和1至16的數(shù)字之和：1+2+……16=136全部8條邊的數(shù)字和：136×2=272每條邊4數(shù)之和：272÷8=34角上4數(shù)之和前面提到，本題是變形的十六宮格填數(shù)題。在九宮格和十六宮格這類填數(shù)題中，都有共用的數(shù)，分別與相鄰的數(shù)相加。在九宮格里共用的是中心的數(shù)，在十六宮格里是四角上的四個數(shù)和中間的四個數(shù)。在將1-16填入十六宮格中的題中，很容易證明，四角上的四個數(shù)之和以及中間的四個數(shù)之和是所有四數(shù)之和的平均數(shù)，都等于34（證明附后）。本題中，正方形角上的四個數(shù)和菱形角上的四個數(shù)均為相加計算中共用的數(shù)，由此推定四數(shù)之和也是平均數(shù)，等于34。本題的填數(shù)結果也反過來驗證，角上4數(shù)之和為34是本題成立的必要條件。2）設未知數(shù)，本題設兩個未知數(shù)。設正方形右上角為x，菱形最下方為y。正方形4個角的4個數(shù)字和為34，右上角為x，左下角為34-1-15-x=18-x。由每條邊上的4數(shù)和為34，得到所有未知數(shù)的相對值，如下： x+y-17 1 32-2x x+1 x x+3 15-x16-y 35-x-y 12 4 18-x 6 x-5 15 y 3）由于本題中的數(shù)字不允許重復，所以要在未知數(shù)取值范圍中選取不重復的數(shù)字。 x的取值（排除已有數(shù)1、4、6、12、15，且因有15-x和x-5以及1，有13≥x≥7）：2、3、5（排除，因x≥7）7 （排除，因15-x與x+1數(shù)值重復）89（排除，15-x=6，重復數(shù)字）10（排除，15-x和x-5的值是重復數(shù)字）11（排除，15-x=4，重復數(shù)字）13（排除，32-2x=6，重復數(shù)字）14和16（排除，因x≤13）當x=8時，正方形中12個數(shù)均已確定，只有菱形四個角上含y值的數(shù)待定，此時只留下2、5、13、14四個數(shù)。由于y和16-y在同一條邊，且16-y<7，因此y只有14可選。將x=8和y=14代入，填充數(shù)字如下： 5 1 16 9 8 11 7 2 13 12 4 10 6 3 15 14 附：十六宮格中角上四個數(shù)和中間四個數(shù)的和的計算過程 設十六宮格（上圖）的中間四個數(shù)的和為a，角上四個數(shù)的和為b。1-16的和：136中間橫豎各兩條直線以及兩條對角線的數(shù)字和：34×6=2042a+136=204 (六條直線數(shù)字相加中，a重復加了3次，其他12個數(shù)加了1次）a=34兩條對角線的數(shù)字和：34×2=68 （a+b）b=68-a=34a和b的值均為34。 題31 （2022年5月25日更新） 兩數(shù)和為100，一數(shù)是7的倍數(shù)，另一數(shù)是11的倍數(shù)，求兩數(shù)各是多少？（見下圖） 此網(wǎng)課來自每日更新的中小學數(shù)學課程視頻，該課程吸引了近6萬粉絲。本題中采用的方法是一一列出7和11的倍數(shù)，然后從中找到一組相同的數(shù)。當題目中數(shù)字較大時，這種解題方法太費時間了。 此類題，標準的解法就是用求整數(shù)值的不定方程來解。解法如下： 列方程：7a+11b=100a=(100-11b)/7解上面這個方程，兩種方法。1)通過余數(shù)找到100-11b被7整除時，b的最小值。 100除以7，余2；11除以7余4，11的n倍除以7，余數(shù)也要乘以n倍。這里要找出余數(shù)4的多少倍減去余數(shù)2是7的倍數(shù)，用4n-2表示。當n=4時，4n-2=14，是7的倍數(shù)。余數(shù)乘4，11也要乘4，也就是b=4，a=8。 2)從b的最小值逐一代入找a的整數(shù)值。a=(100-11b)/7b=1、2、3、4時，100-11b分別等于89、78、67、44，其中只有44能被11整除。同樣得到：b=4a=8 題32 （2022年9月24日更新）三階幻方，已知7、8、9三數(shù)，在空格中填入其它數(shù)字，使橫、豎、對角線各行中三數(shù)之和相等（見下圖）。 圖中紅色數(shù)字是網(wǎng)課老師的解題過程。不清楚為何要用復雜的方法解決簡單的問題，明明有現(xiàn)成的通解法啊。通解法很簡單。 為避免多解，答案過多，首先此類題應該加入限制條件，如：填入數(shù)為不重復的正整數(shù)，且使三數(shù)和最小。 接下來，直接設中心數(shù)為x，而三數(shù)之和為3x（依據(jù)三階幻方定理）。 8 y ? ? x 7? 9 ? 本題給出的已知數(shù)中最大數(shù)是9，設所在豎行中第一個數(shù)為y，則3x-x-9=y，即2x-9=y。由于y大于0，2x必大于9。當2x>9時，x的最小值是5，三數(shù)之和3x等于15。至此，即可得到以下填充結果： 8 1 6 3 5 74 9 2是不是很簡單? 題33（2022年10月18日更新） 由200個4排列在一起組成的數(shù)除以6，余數(shù)是多少？（見下圖） 　　此題稱之為五年級奧數(shù)題。講課老師真的去試除了一下，發(fā)現(xiàn)444能被6整除，以此為突破口計算下去。這是對簡單的解題方法視而不見嗎？。本題基本上直接觀察，就可以確定余數(shù)是多少。這就是利用數(shù)字被6整除的特性：能被6整除，相當于同時被3和2整除。一個數(shù)能被3整除，這個數(shù)各個數(shù)位的和也能被3整除。一個數(shù)能被2整除，個位數(shù)是偶數(shù)。 如此，200個4，各數(shù)位上的4相加，和為800。800不能被6整除。但800減去2等于798，能被3整除（798的各數(shù)位相加等于24，口算看出能被3整除）。我們從200個4的個位數(shù)上減去2，得到前面199個4、個位數(shù)為2的數(shù)。由于個位數(shù)為2，此數(shù)同時能被2和3整除，即：200個4減去2能夠被6整除。其另一個表述就是：200個4除以6，余數(shù)為2。 題34（2022年11月8日更新）填數(shù)字，見下圖： 這是一道簡單的方程題，講課老師提供的解題方法看起來也沒錯。不過，本題另有解法，老師不該不提。同時，老師在設未知數(shù)時犯了忌，即：建方程設未知數(shù)時，能少設未知數(shù)就不多設。本題本來設一個未知數(shù)就夠了，老師設了三個未知數(shù)，需要消元計算。 下面是只用一個未知數(shù)建立的方程。 設9和17所在的同一條直線上的小圓圈內(nèi)數(shù)為x，另外兩個小圓圈內(nèi)數(shù)分別是x+17-8和x+17-4，列等式：x+x+17-8+x+17-4=17+9+xx=2x+17-8=11x+17-4=15三數(shù)之和：2+11+15=28一元一次方程，無須消元計算。 題35 （2023年7月12日更新）（a+1)(a+3)(a+5)=480，求a。（見下圖） 　　網(wǎng)課老師的解題太復雜了，用分解因數(shù)法即可。 解題：設a+3=t代入原式：(t-2)t(t+2)=480兩邊同除以8：(t/2-1)t/2(t/2+1)=6060=2×2×3×5=3×4×5則t/2-1=3t/2=4t/2+1=5t=8a=8-3=5本題a=5是唯一解，因為可以排除三個連續(xù)數(shù)中的兩個數(shù)為負數(shù)的情形。如在上面的計算中，60也可以拆成(-3)×(-4)×5或3×(-4)×(-5)的形式，但這樣拆分均無法滿足三數(shù)為連續(xù)數(shù)的條件。 題36 （2023年8月30日更新）三個質數(shù)，其積是其和的5倍，求這三個質數(shù)。 網(wǎng)課老師解題的方法有些繁瑣，在確定了一個質數(shù)為5后，其它兩個質數(shù)還需要多次試算才能得出。講課視頻截圖中b=1的試算是多余的，因為1不是質數(shù)。本題用方程去解更容易。 設三質數(shù)為a、b、c，根據(jù)題意列方程：abc=5(a+b+c) （1）由于5是質數(shù)，則三質數(shù)之一是5，令a=5代入(1)式5bc=5(5+b+c)bc=b+c+5bc-b-c=5b(c-1)-c+1=6(b-1)(c-1)=6由于b、c均為質數(shù)，只能得到以下一組解：b=7c=2 題37（2023年11月11日更新）兩位數(shù)乘法算式（見下圖） 這是百度推送的數(shù)學題，一共兩個已知數(shù)字。講題老師在視頻中講了5分鐘，用的解題方法是試填數(shù)字，老師的口頭禪是“大概率應該填X”。 以下介紹兩種解法。1.設乘法算式中的4個數(shù)字為：AB×CD 由積的百位數(shù)為8，千位數(shù)為1，反推出豎式中C下面的兩個百位數(shù)是：9+9或8+9 (另有十位的進位1)。 由AB×D最大值為99×9=891，得到乘積的百位數(shù)字為8。而A或D小于9，相乘得到的百位數(shù)字必小于8，無解。由此得到A=9，D=9，C=1，填入豎式： 9B × 19------------- 88? 9?-------------- 1 8?? 由B×9=88?-(90×9)=7?，得到：B=7?÷9=72÷9=8B=8 乘式AB×CD為98×19，補齊豎式數(shù)字如下： 　　 98 × 19------------- 882 98-------------- 1 862 還可以用不等式解法。在上面的第一步中，設第二行乘數(shù)的十位數(shù)為n，列不等式：1899÷(10n+9)×n<100，求n的最大值的上限。1899n<1000n+900899n<900n<900/899顯然，自然數(shù)n=1。將上式在10n+9換成10n+8，n<800/899，n小于1，不合題意。第二層乘數(shù)只有唯一的值19。用1800和1899分別除以19，得到的商，十位數(shù)均為9，由此確定第一層乘數(shù)的十位數(shù)為9。第二步，設第一層乘數(shù)的個位數(shù)為a，已知百位數(shù)和千位數(shù)均為8，列不等式：(90+a)×9>8799a>69(90+a)×9<8909a<80整理后得到：7.6<a<8.8即自然數(shù)a=8完整的乘法算式：98×19 題38（2023年11月20日更新）數(shù)陣圖（見下圖） 本題已知數(shù)是2、4、6，要求填入3、5、7、8四個數(shù)。視頻中的老師用了奇怪的方法，他不會一元一次方程嗎？他不會算數(shù)式嗎？ 此題可用兩種求解方式。，一是列方程，一是列算數(shù)式。 方程解法設中心數(shù)為a，列方程：63-3a-24=3+5+7+8-aa=8 算數(shù)式解法63-(2+4+6)×2-(3+5+7+8)=1616÷2=8 簡單明了。 題39 （2023年12月3日更新）四元一次方程（見下圖） 本題講師用了半節(jié)課的時間講一道簡單的方程題，越講越復雜。 先演示一下正常的解題過程。設本題中4個未知數(shù)分別為a、b、c、d，根據(jù)已知條件列方程：a+b+c+d=370 (1)a+2=b-3=2c=d/2 (2)將a、b、d分別用c來表示：a=2c-2 (3)b=2c+3 (4)d=4c (5)用(3)、(4)、(5)等式右邊的值替換掉(1)式中的a、b、d，完成消元：2c-2+2c+3+4c+c=3709c=369c=41a=80b=85d=164 本題講師是用b來替換掉未知數(shù)a、c、d，而我們用c來替換。雖然用a、b、c、d中任意一個未知數(shù)替換其它三個未知數(shù)都可以解出正確答案，但顯然，合理的做法是用較小的未知數(shù)替換較大的未知數(shù)來消元，這樣可以減少計算量。如本題，c是最小的未知數(shù)，消元轉換成c的一元一次方程后，只需要口算就可得出答案。 須知有些數(shù)學題由于數(shù)字巨大，只有用最簡單的計算方法才能得到答案。 多元一次方程重點應該講什么呢：等量關系、消元法。本題講師半堂課講的內(nèi)容，班里一定有同學講得比他好，用時還少。 題40（2023年12月28日更新）幻方問題（見下圖） 講課老師的解題方法過于繁瑣，出題也不夠嚴謹。簡單直接的解法如下： 已知4個三角形的數(shù)字和每每相等，即:A+C+D=H+E+F=B+C+E=G+D+F直觀可見，左上及右下的兩個三角形與右上及左下的兩個三角形的數(shù)字和相等，即:A+C+D+H+E+F=B+C+E+G+D+F化簡得到:A+H=B+G (1)將A=3n-2; C=3n; F=2n+1代入(1)式:3n-2+H=3n+2n+1H=2n+3 本題給出三個頂點的值和每個三角形三頂點的數(shù)字和相等這兩個條件就夠了，要求與中間四邊形頂點的數(shù)字和也相等的條件是多余的。 題41（2024年1月26日更新）簡化的三階幻方（見下圖） 這道題，講課者從出題到解題都有問題：出題的條件中，完全不需要給出3個已知數(shù)字；解題中，也不需要設未知數(shù)和列方程。 本題是簡化的三階幻方，分四步解。 第一步，9個數(shù)，從首尾開始依次相加，得到和相等的四組數(shù)：1-11、2-10、3-9、5-7，余下單獨的數(shù)字6，正好放在中心圓內(nèi)。 第二步，根據(jù)直線上三數(shù)之和的奇偶性，選擇首先要填入的一組數(shù)。本題直線上三數(shù)之和為18，四組數(shù)中，只有2和10是偶數(shù)，它們必須和中心圓6在同一條直線上，才能使所有直線上的三數(shù)之和均為偶數(shù)。如圖填入： ○ ○ ○2 6 10 ○ ○ ○ 第三步，填入另一條經(jīng)過中心圓的直線上的一組數(shù)。因一條直線上已填入10，再填入的兩個數(shù)均須小于8，這里只有數(shù)組5-7符合條件，如圖填入： 5 ○ ○2 6 10 ○ ○ 7 第四步，填入空缺處余下四個數(shù)，如圖： 5 11 32 6 10 9 1 7 本題再添加兩條連接數(shù)字的直線，填入數(shù)字改為1-9的連續(xù)數(shù)，圖像旋轉45度，就是標準的三階幻方。 題41（2024年1月29日更新）三階幻方（見下圖） 又是一次誤人子弟的講題：計算順序錯誤，計算方法笨拙、繁瑣。 很簡單的三階幻方。 第一步，求出中間數(shù)。設中間數(shù)為x，根據(jù)公式，幻和=3x，得到中間數(shù)x的值：x=(13+7)÷2=10第二步，設右上角的數(shù)為a，左下角的數(shù)為b，有：a+b=20 (1)a+13=b+11 (2)(2)式化簡：b-a=2 (3)(1)+(3)：2b=22b=11接下來，由幻和等于30的限定，依次口算出應該填入的數(shù)字，填入相應的空格中。 題42（2024年1月31日更新）625×625的簡便算法（見下圖） 數(shù)學大咖的簡便算法，就是把625的平方，變成(600+25)的平方，然后用平方和公式展開計算，并不簡便。 有更簡便的算法。 尾數(shù)為25的多位數(shù)，可以表示為a25，a是百位及其以上的數(shù)字。a25×a25，其積的尾數(shù)是625，625前面的數(shù)字設為x，可以用公式求出，即：x=(a×a+a/2)×10。如本題，a是百位數(shù)的6，6×6=36，加上6/2，得到39，39再乘10是390。390放在625之前，就得到625×625的計算結果390625。 a可以是任何正整數(shù)。 題43（2024年2月4日更新）字母替代數(shù)字的數(shù)字填空題（見下圖） 這是一道用字母表示數(shù)字的數(shù)字填空題。講題的內(nèi)容并無錯誤，但缺乏了數(shù)學應有的嚴謹，解題不夠簡潔。例如，截圖中，講者列豎式做除以3的運算就是多余的，講者也沒有說明A只能取值3或7。 題目：ABCDE×A=EEEEEE，要求求出各字母替代的數(shù)字。 提取隱含已知條件：1) EEEEEE÷E=111111即：EEEEEE=111111×E2) A×A<11×E3) (100×A+99)×A>1111×E4) EEEEEE中包含因數(shù)A。 解題，分解質因數(shù)：111111×E=E×3×7×11×13×37由于A是個位數(shù)，A又不等于E，則A只能取值個位數(shù)的因數(shù)3或7。1. 若A=3，根據(jù)條件2)，E=1，由于個位數(shù)1×3的尾數(shù)不是1，不合題意。2. A=7，根據(jù)條件2)，E=5，個位數(shù)7×5的尾數(shù)是5，滿足要求。驗證：555555÷7=79365，滿足本題所有要求。