<p>縱觀歷史，人類一直致力于去發(fā)現(xiàn)世界的規(guī)則、原理以及它們與人類之間的聯(lián)系。數(shù)千年來，在解釋世界基本原理的各學(xué)科中，有一門學(xué)科是其他學(xué)科的基礎(chǔ)，這一學(xué)科就是——數(shù)學(xué)！談起數(shù)學(xué)，很多人首先想到的可能就是一堆公式、數(shù)字，而在這些數(shù)字中有一類數(shù)，它的歷史幾乎和自然數(shù)一樣古老，它就是——分?jǐn)?shù)。關(guān)于分?jǐn)?shù)，讓我們從《九章算術(shù)》“方田”一章中的兩道題目開始：</p> <p>1. 今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？答曰：人得一錢二十一分錢之四。</p><p><br></p><p>2. 又有三人三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問人得幾何？答曰：人得二錢八分錢之一。</p><p><br></p><p>相信這樣的題目對(duì)于現(xiàn)代大部分人來說不算難題，列出算式就是：</p><p><br></p><p><br></p><p>可見，我們的古人很早就已經(jīng)掌握了分?jǐn)?shù)的概念并進(jìn)行了應(yīng)用，那分?jǐn)?shù)由誰而來，為何而來呢？現(xiàn)在就讓我們穿越到數(shù)千年前，一起去揭開分?jǐn)?shù)的神秘面紗吧！</p><p><br></p><p>數(shù)的概念大約產(chǎn)生于30萬年以前原始人的生活和生產(chǎn)中，當(dāng)時(shí)的人類就已經(jīng)具有識(shí)別多、少的能力了，在這個(gè)過程中人類慢慢的就注意到1只羊和許多羊，1頭狼和許多狼的差異，通過對(duì)于它們的比較人類逐漸看到了1只羊、1只狼、1棵樹等之間存在著共通的東西，即數(shù)數(shù)的話，只需要知道1就行了，當(dāng)然數(shù)學(xué)家把這個(gè)特殊的數(shù)稱之為“單位”。在此之后人類利用石頭、繩結(jié)、骨頭刻線等方式去對(duì)應(yīng)現(xiàn)實(shí)中的物體，這里蘊(yùn)含的“對(duì)應(yīng)”的思想，在歷史上被稱為“數(shù)學(xué)的第一次抽象”，難怪英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家伯特蘭·羅素說：“當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對(duì)雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時(shí)，數(shù)學(xué)就誕生了。”</p> <p>可是原始人在生產(chǎn)分配的過程中卻常常出現(xiàn)不能均分的情況、在測(cè)量或計(jì)算時(shí)不能得到整數(shù)的結(jié)果，分?jǐn)?shù)自然而然的就產(chǎn)生了。在計(jì)數(shù)的過程中人類還創(chuàng)造了其他東西——數(shù)字本身。</p><p><br></p><p>1.古埃及分?jǐn)?shù)</p><p><br></p><p>關(guān)于最早的分?jǐn)?shù)記載于3000多年前古埃及的《萊因德紙草書》上，它的作者是書記官阿默斯，那它為什么叫萊因德紙草書呢？因?yàn)樗且环N植物經(jīng)過處理之后，可以像紙一樣用來寫字，所以叫紙草，公元1858年由英國(guó)的埃及學(xué)者萊因德購得，故名《萊因德紙草書》，現(xiàn)藏于倫敦大英博物館之中。</p> <p>在紙草書上，古埃及人用一種特殊的記號(hào)來表示單位分?jǐn)?shù)即分子為1的分?jǐn)?shù)（事實(shí)上絕大部分埃及的分?jǐn)?shù)都是幾分之一）：在整數(shù)符號(hào)上面畫一個(gè)橢圓，就表示出了幾分之一。</p> <p>后來埃及的僧侶將上面的橢圓換成了“· ”其中一些數(shù)字也有了變化，形成了我們現(xiàn)在所知道的僧侶文。而當(dāng)遇到分子不是1的分?jǐn)?shù)時(shí)，他們就想方設(shè)法把這樣的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為一些單位分?jǐn)?shù)之和，至于原因已無從考證。</p> <p>于是就出現(xiàn)了有趣的現(xiàn)象，比如紙草書中就記載了分面包的問題，而面包正是埃及人發(fā)明的，其中一個(gè)問題就是如何將九塊面包，等分給十個(gè)人而不讓他們因不均而爭(zhēng)執(zhí)。這時(shí)埃及人會(huì)將其中的五塊切成兩半，然后把剩下的四個(gè)分別平均分成三等份，再把其中的兩個(gè)三分之一部分切成五等份，即每一片是整個(gè)面包的十五分之一，每人從中拿一塊半片，一塊三分之一和一塊十五分之一的面包（1/2+1/3+1/15=9/10），而這也產(chǎn)生了埃及分?jǐn)?shù)問題，埃及分?jǐn)?shù)屬于數(shù)論中的一個(gè)分支——不定方程（丟番圖方程），它引出了大量的問題，其中有些問題至今尚未獲得解決。</p> <p>正是通過這樣看似實(shí)際的問題，分?jǐn)?shù)就此登場(chǎng)了。沒過多久，埃及人就開始探索分?jǐn)?shù)的用法。最早的分?jǐn)?shù)表示法，來自于一個(gè)富有神秘色彩的象形符號(hào)，名叫“荷魯斯之眼”。</p> <p>它的不同的部位代表了一個(gè)分?jǐn)?shù)，但它的各個(gè)組成部分也被用來表示6個(gè)和為1的分?jǐn)?shù)，實(shí)際上這些分?jǐn)?shù)的和并不是1，但卻給我們一個(gè)啟示，如果按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)加下去就會(huì)無限接近于1，可惜的是古埃及人并沒有提出無窮級(jí)數(shù)的概念和想法，但也給我們現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了積極的影響</p> <p>2.古巴比倫分?jǐn)?shù)</p><p><br></p><p>除了埃及以以外，近東地區(qū)另一個(gè)數(shù)學(xué)的中心是美索不達(dá)米亞平原，這里是古巴比倫文明的發(fā)祥地。由于原料不足，古巴比倫人沒有使用奢侈的草紙而是利用泥板等來記錄數(shù)學(xué)問題。古巴比倫利用楔形文字來記錄數(shù)字，他們采用60進(jìn)制（數(shù)學(xué)、天文學(xué)上），而且他們的分?jǐn)?shù)的分母是固定的，總是60或者60的平方。</p> <p>至于為什么古巴比倫人要以60為基數(shù)，至今還有很多的爭(zhēng)論，最有可能的理論是公元4世紀(jì)古希臘學(xué)者亞歷山大的席恩提出的，他認(rèn)為60可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20、30整除，事實(shí)上，60是能被1到6整除的最小整數(shù)，看來相比與我們現(xiàn)在的十進(jìn)制，用六十進(jìn)制自有其好處，所以在今天我們還能見到古巴比倫人應(yīng)用六十進(jìn)制的影子：圓的一圈被看為360°，時(shí)鐘計(jì)時(shí)等。</p><p><br></p><p>不過他們分?jǐn)?shù)的記錄方式卻會(huì)帶來很多的不便。例如，當(dāng)表示分?jǐn)?shù)時(shí)是7×1/60或者7×1/〖60〗^2，但這數(shù)如果表示整數(shù)就可能是7×60或者7×〖60〗^2 ，而且也沒有任何符號(hào)來區(qū)別整數(shù)和分?jǐn)?shù)部分，所以到底具體表示什么需要根據(jù)上下文來判斷，因此也給分?jǐn)?shù)的傳播和使用帶來的很多的困擾。</p> <p>3.希臘分?jǐn)?shù)</p><p><br></p><p>歐幾里得和阿基米德曾創(chuàng)用了特殊的記號(hào)表示簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)，例如用希臘字母表示?，他們?cè)谥笠矊W(xué)著埃及人的方法表示分子大于1的分?jǐn)?shù)，但是卻遭到了天文學(xué)家的反對(duì)，他們寧愿使用巴比倫人的60進(jìn)制。</p> <p>但這都并不影響古希臘對(duì)人類數(shù)學(xué)的巨大貢獻(xiàn)，很多耳熟能詳?shù)娜宋锶缣├账埂叺酶缋?、柏拉圖、亞里士多德、歐幾里得、阿基米德等等，在這些數(shù)學(xué)家（當(dāng)然很多人不僅局限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域）的努力下鑄就了輝煌的古希臘數(shù)學(xué)，更重要的是：古希臘數(shù)學(xué)創(chuàng)造了我們今天所理解的那種數(shù)學(xué)，也就是數(shù)學(xué)證明的演繹推理方法，重視抽象而不注重具體。</p> <p>4.古代中國(guó)分?jǐn)?shù)</p><p><br></p><p>人類數(shù)學(xué)之路上踏出第一步的是這古老的埃及文明，與此同時(shí)還有美索不達(dá)米亞文明、古希臘文明，但遺憾的是，隨著古希臘文明的衰亡，西方數(shù)學(xué)的研究停滯不前，然而數(shù)學(xué)前進(jìn)的腳步并沒有停止，因?yàn)樵跂|方，有一個(gè)國(guó)家把分?jǐn)?shù)推向了一個(gè)活力的新高峰，這個(gè)國(guó)家就是——中國(guó)！</p><p><br></p><p>中國(guó)古代關(guān)于分?jǐn)?shù)的的起源有待考證，有學(xué)者認(rèn)為分?jǐn)?shù)記載最早可以追溯到商代，在晚周的一些銅器上已出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的記敘，在我國(guó)春秋時(shí)代的《左傳》中，就規(guī)定了諸侯城池的大?。鹤畲蟮牟豢沙^周文王國(guó)都的三分之一，中等的不可超過五分之一，最小的不可超過九分之一。于是隨著記數(shù)、計(jì)算的逐漸發(fā)展也就產(chǎn)生算籌，這根不起眼的小棍子對(duì)于中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展可謂是功不可沒。</p> <p>據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)。也就是說在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，首先必須懂得數(shù)字的位（和結(jié)構(gòu)）。個(gè)位以縱劃表示，十位以橫劃表示，百位是縱的，而千位則是橫的；依次縱橫交替。所以，千位和十位看起來是相同的，萬位和百位也是相同的。</p> <p>用算籌來表示分?jǐn)?shù)的方法和現(xiàn)代非常相似，都是分母在下，分子在上，不過那時(shí)中間沒有分?jǐn)?shù)線。可以說古代中國(guó)是最早給出分?jǐn)?shù)定義以及建立分?jǐn)?shù)體系的國(guó)家，而這比歐洲其他國(guó)家早一千年。因?yàn)樵诖蠹s公元前5世紀(jì)，古代中國(guó)就出現(xiàn)把兩個(gè)數(shù)相除的商看作分?jǐn)?shù)來認(rèn)識(shí)，這正是現(xiàn)在分?jǐn)?shù)概念的基礎(chǔ)。</p><p><br></p><p>其中已知最早的中國(guó)數(shù)學(xué)著作《算數(shù)書》中，已經(jīng)出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則，分?jǐn)?shù)除法的顛倒相乘法最早就出于此。</p> <p>用算籌來表示分?jǐn)?shù)的方法和現(xiàn)代非常相似，都是分母在下，分子在上，不過那時(shí)中間沒有分?jǐn)?shù)線。可以說古代中國(guó)是最早給出分?jǐn)?shù)定義以及建立分?jǐn)?shù)體系的國(guó)家，而這比歐洲其他國(guó)家早一千年。因?yàn)樵诖蠹s公元前5世紀(jì)，古代中國(guó)就出現(xiàn)把兩個(gè)數(shù)相除的商看作分?jǐn)?shù)來認(rèn)識(shí)，這正是現(xiàn)在分?jǐn)?shù)概念的基礎(chǔ)。</p><p><br></p><p>其中已知最早的中國(guó)數(shù)學(xué)著作《算數(shù)書》中，已經(jīng)出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則，分?jǐn)?shù)除法的顛倒相乘法最早就出于此。</p>