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初中數(shù)學(xué)五日一題1(1--10)解法與解析集錦

海闊天空

<p class="ql-block"><b>文字:海闊天空</b></p><p class="ql-block"><b>題目:主要源于績(jī)優(yōu)學(xué)案同步練習(xí)冊(cè)</b></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:22px;"> 我的兩個(gè)初衷</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">自從2024年9月1日開(kāi)學(xué)起，九年制義務(wù)教育階段的一、七年級(jí)同時(shí)開(kāi)始使用新教材。我的大孫女也正好進(jìn)入七年級(jí)，這讓我毫無(wú)疑問(wèn)的在關(guān)注著她的學(xué)習(xí)動(dòng)向，特別是數(shù)學(xué)這一學(xué)科。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">本級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)科統(tǒng)一使用的是名為</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">績(jī)優(yōu)學(xué)案</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">的同步練習(xí)冊(cè)，這</span><span style="font-size:20px;">應(yīng)該是小學(xué)階段的</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">改了個(gè)名稱。雖然我沒(méi)有也沒(méi)必要給她經(jīng)常性的輔導(dǎo)，但我始終會(huì)一如既往的堅(jiān)持一個(gè)做法，就是我手頭同時(shí)具有跟她同步的教材和同步練習(xí)冊(cè)，而且在一題不漏和不厭其煩的過(guò)目、鉆研、理解。如果她隨時(shí)需要，我一定會(huì)讓她滿意，這就是我的第一初衷。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">我有一個(gè)深刻的感覺(jué)，現(xiàn)在七年級(jí)的同步練習(xí)冊(cè)上有相當(dāng)數(shù)量的題目從難度和跨度上都不亞于十年前八、九年級(jí)的題目。我雖為一名退休數(shù)學(xué)教師，但這好多題目都讓我完全是一種新的感覺(jué)，更需有新的認(rèn)知。幸虧本人酷愛(ài)數(shù)學(xué)，否則這個(gè)做法難以堅(jiān)持下去。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">數(shù)學(xué)同步練習(xí)冊(cè)上有一些題目很有趣味性和代表性，但資料上提供的答案往往是避重就輕，只有結(jié)果而沒(méi)有過(guò)程或是解析過(guò)程過(guò)于簡(jiǎn)略。有些題目很有必要深鉆細(xì)研、深刻挖掘，但即是通過(guò)網(wǎng)上查詢也總難讓人感到滿意，所以有的題目會(huì)讓我通過(guò)多時(shí)甚至數(shù)日才能琢磨到毫不含糊的程度。這正是我將要系列分享“</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">五日一題解法與解析集錦</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">”的主要原由。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">借用網(wǎng)絡(luò)與人為善，為有志向的優(yōu)秀學(xué)子們突破高難度題目尋求正確解題思路提供參考、借鑒和方便，這是我的第二初衷。目的在于幫助優(yōu)秀學(xué)子們提升邏輯思維能力和提高分析和解決問(wèn)題的能力。及早瞄準(zhǔn)中、高考中20%的壓軸題。</span><span style="font-size:20px;">本人做為一名退休教師，若能對(duì)任何學(xué)子有一絲幫助，那將是我晚年生活的最大欣慰。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;"> 幾點(diǎn)說(shuō)明</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">1.</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">五日一題集錦</b><span style="font-size:20px;">題目主要來(lái)源于</span><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">?</span><b style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">績(jī)優(yōu)學(xué)案</b><span style="font-size:20px;">中</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">能力提升題</b><span style="font-size:20px;">、</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">素養(yǎng)拓展題</b><span style="font-size:20px;">等欄目；</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">?</b><span style="font-size:20px;">教材中單元習(xí)題和復(fù)習(xí)題中</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">問(wèn)題解決</b><span style="font-size:20px;">、</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">聯(lián)系拓廣</b><span style="font-size:20px;">等欄目；</span><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">?</span><span style="font-size:20px;">各單元測(cè)評(píng)卷中個(gè)別</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">精選題目</b><b style="font-size:20px;">；</b><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">?</b><span style="font-size:20px;">寒暑假作業(yè)中讓我</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">留有標(biāo)記</b><span style="font-size:20px;">的題目；</span><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">?</span><span style="font-size:20px;">我孫女</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">測(cè)試卷上</b><span style="font-size:20px;">出現(xiàn)過(guò)被我看中的題目。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">2.我對(duì)選入的題目原則上保證</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">題意分析</b><span style="font-size:20px;">、</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">詳解過(guò)程</b><span style="font-size:20px;">、</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思</b><span style="font-size:20px;">這</span><b style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">三步走</b><span style="font-size:20px;">，但個(gè)別題目例外，要么只有題意分析，要么只有解答過(guò)程，要么答案就在題意分析中，題意分析中重在談?dòng)憜?wèn)題的轉(zhuǎn)化方法和途徑，探究難點(diǎn)突破的巧思妙解。解后反思既是對(duì)題意分析的補(bǔ)充，又是自我感悟的分享。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">3.本人對(duì)題目</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">三步走</b><span style="font-size:20px;">篇幅偏大其實(shí)是有意而為，這主要是讓每一位有可能閱讀者都能輕松讀懂，便于理解和借鑒。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">　　2024年9月20日題</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">1.小明學(xué)習(xí)了“面動(dòng)成體”之后，他用了一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3㎝、4㎝、5㎝的直角三角形，繞其中一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到了一個(gè)幾何體。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">⑴請(qǐng)畫(huà)出可能得到的幾何體簡(jiǎn)圖；</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">⑵分別計(jì)算出這些幾何體的體積。</span><span style="font-size:18px;">(</span><span style="font-size:15px;">圓錐體積=?πr2h，結(jié)果保留π) </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;">?(</span><span style="font-size:18px;">績(jī)優(yōu)學(xué)案七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)p5頁(yè)第二課時(shí)“立體圖形的構(gòu)成”素養(yǎng)拓展題)</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">題意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">?1.本題是一個(gè)“</span><b style="font-size:20px;">面動(dòng)成體</b><span style="font-size:20px;">”后得到幾何體的實(shí)際例子。應(yīng)分三種情況畫(huà)圖和計(jì)算。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">2.分別繞以兩條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是兩個(gè)圓錐；而繞以斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到幾何體應(yīng)是同一個(gè)圓為底面的兩個(gè)圓錐的拼合體。體積自然是兩個(gè)圓錐體積的和。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px; color:rgb(255, 138, 0);">詳解過(guò)程:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">⑴幾何簡(jiǎn)圖畫(huà)法如下:</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">⑵計(jì)算幾何體體積如下:</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">1.本題所畫(huà)幾何體簡(jiǎn)圖是分別以短直角邊、長(zhǎng)直角邊、斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)而得。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">2.由三個(gè)體積計(jì)算結(jié)果可知，旋轉(zhuǎn)軸所在邊越短，幾何體體積越大，這個(gè)結(jié)論可用于直接得到有關(guān)這類選擇題的答案。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">3.兩個(gè)圓錐拼合體的高其實(shí)就是兩個(gè)圓錐的高之和。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px; color:rgb(1, 1, 1);">　　2024年9月25日題</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">2.在圖1-2-1-10①中，A為正方體的頂點(diǎn)，在另一頂點(diǎn)B處有一昆蟲(chóng)。圖②、圖③是正方體的兩種不同展開(kāi)圖，根據(jù)A，B位置特點(diǎn)，請(qǐng)你在圖②、圖③中分別標(biāo)出昆蟲(chóng)的位置B。</span><span style="font-size:18px;">(績(jī)優(yōu)學(xué)案七年級(jí)上冊(cè)第一章“豐富的圖形世界”2.從立體圖形到平面圖形第一課時(shí)正方體的展開(kāi)與折疊“</span><b style="font-size:18px;">素養(yǎng)拓展</b><span style="font-size:18px;">”8題)</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:22px;">題意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">1.本題是一個(gè)從立體圖形到平面圖形，正方體的展開(kāi)與折疊的一個(gè)典型題目。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">2.正方體中有上、下、左、右、前、后共6個(gè)面，每一個(gè)面都有一個(gè)相對(duì)的面和四個(gè)相鄰的面。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">3.圖①中的A點(diǎn)是</span><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">左、前、下</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">三個(gè)面的三條棱的公共端點(diǎn)；B點(diǎn)是</span><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">右、后、上</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">三個(gè)面中三條棱的公共端點(diǎn)。有了這樣的認(rèn)知就不難在平面展開(kāi)圖中找到B點(diǎn)。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">4.怎樣能準(zhǔn)確的在展開(kāi)圖中標(biāo)注“</span><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">上、下、左、右、前、后</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">”這些字便是本題的關(guān)鍵。</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">解析與標(biāo)注過(guò)程:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">1.∵在圖②中，點(diǎn)A是</span><b style="font-size:20px;">左、前、下</b><span style="font-size:20px;">三個(gè)面的三條棱的公共端點(diǎn)。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">∴B點(diǎn)應(yīng)是</span><b style="font-size:20px;">右、后、上</b><span style="font-size:20px;">三個(gè)面的三條棱的公共端點(diǎn)(如圖②點(diǎn)B)</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">∵圖③中A點(diǎn)是</span><b style="font-size:20px;">左、后、下</b><span style="font-size:20px;">三面的公同頂點(diǎn)。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">∴點(diǎn)B應(yīng)是</span><b style="font-size:20px;">右、前、上</b><span style="font-size:20px;">三面的公共頂點(diǎn)(如圖③中點(diǎn)B)</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">1.在正方體的展開(kāi)圖中用文字標(biāo)注，辯別面與面的位置關(guān)系，一般是先標(biāo)出</span><b style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">下面</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">，再繼續(xù)思考。這實(shí)際上是把下面作為參照物在思考問(wèn)題的。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">2.這類問(wèn)題無(wú)非就是利用對(duì)邊關(guān)系或鄰邊關(guān)系通過(guò)思考推想解決問(wèn)題的。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">3.正方體中任何一個(gè)頂點(diǎn)都可以說(shuō)成哪三個(gè)面的公共頂點(diǎn)(或哪三個(gè)面所在棱的公共端點(diǎn))。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">　　2024年9月30日題</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">?3.由16個(gè)完全相同的小立方塊搭成的幾何體，正視圖和左視圖如圖所示，其最下層放置了9個(gè)小立方塊，那么這個(gè)幾何體的搭法共有 ( </span><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">c</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;"> )</span>(<span style="font-size:18px;">績(jī)優(yōu)學(xué)案七年級(jí)上冊(cè)第一章“豐富的圖形世界”2.從立體圖形到平面圖形第4課時(shí)從三個(gè)方向看物體的形狀專題一.由形狀判斷幾何體2題</span>)</p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">題意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">1.仔細(xì)觀察這個(gè)幾何體的主視圖和左視圖及題目中信息，可以想到它的俯視圖為一個(gè)九宮格。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">2.這9個(gè)格子的位置可以用左前、左后、右前、右后、左中、右中、前中、后中、中中來(lái)稱謂；也可用1--9這些序號(hào)標(biāo)注出來(lái)。(如下圖所示)</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">3.九宮格中每一排又可用前行、中行、后行、左列、中列、右列來(lái)稱謂。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">4.本題中所搭幾何體要同時(shí)滿足?前看“三、二、四”；?左看“二、三、四”；?最下層9個(gè)；?總共16個(gè)。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">5.仔細(xì)琢磨三視圖，3個(gè)重疊只能在“</span><b style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">左中</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">”位置、4個(gè)重疊只能在“</span><b style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">前右</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">”位置，2個(gè)重疊在中列和后行至少有一個(gè)。如下圖所示:這個(gè)2既在中列又在后行</span><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:15px;">(一星管二)</span><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">，其余位置均為1個(gè)。到此為止這個(gè)幾何體中已有15個(gè)小正方體，再差1個(gè)小正方體就滿足所有條件了(如下圖所示)。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">10種搭法如下:</b></p><p class="ql-block">1.在上圖中<b style="color:rgb(255, 138, 0);">后中</b>位置上的2個(gè)重疊不變的情況下，在最下層為1的六個(gè)位置上均可再搭1個(gè)小正方體，這便是6種搭法。</p><p class="ql-block">2.若把<b style="color:rgb(255, 138, 0);">后中</b>位置上的2變?cè)?lt;b style="color:rgb(255, 138, 0);">后左</b>上去，那么<b style="color:rgb(255, 138, 0);">前中</b>和<b style="color:rgb(255, 138, 0);">中中</b>這兩個(gè)位置也可再搭1個(gè)小正方體，這又是兩種搭法。</p><p class="ql-block">3.若把<b style="color:rgb(255, 138, 0);">后左</b>上的2再變到<b style="color:rgb(255, 138, 0);">后右</b>上去，又有搭上<b style="color:rgb(255, 138, 0);">前中</b>和<b style="color:rgb(255, 138, 0);">中中</b>兩種搭法。</p><p class="ql-block">4.一共有6+2+2=10種搭法。</p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">1.本題所搭幾何體10種情況中無(wú)論哪一種都是是一個(gè)4、一個(gè)3、兩個(gè)2、5個(gè)1，總數(shù)為4+3+2×2+1×5=16個(gè)。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">2.其中的4個(gè)重疊、3個(gè)重疊位置固定不變，而同時(shí)出現(xiàn)的兩個(gè)2因所在位置不同而出現(xiàn)10種情況。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">3.無(wú)論哪種情況，必須保證</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">中列</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">和</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">后行</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">中每行至少有一個(gè)位置是兩個(gè)重疊，這樣才能一致符合正看“三、二、四”，左看“二、三、四”中的“</span><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">二</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">”的位置要求。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">4.本題中10中搭法上面只是說(shuō)明了思路，并未把10個(gè)九宮格全部列出，原因是全部列出，如果思路不清晰，反倒把眼睛都看花了還不知道咋來(lái)的。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">　　2024年10月5日題</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">4.將正方體的表面沿某棱剪開(kāi)，展開(kāi)成一個(gè)平面圖，你剪開(kāi)了幾條棱？與同伴進(jìn)行交流，你們結(jié)果是否一致？(</span><span style="font-size:18px;">七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章第2單元從立體圖形到平面圖形p17頁(yè)13題</span><span style="font-size:20px;">)</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">題意分析和推算方法:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">1.正方體或其它的立體圖形都有可能沿著某些棱剪開(kāi)，展開(kāi)成一個(gè)平面圖形。在一些產(chǎn)品加工前都要進(jìn)行精心的設(shè)計(jì)和計(jì)算，其實(shí)往往還是先把平面圖形進(jìn)行切割又制成需要的立體圖形的。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">2.要回答本題中的問(wèn)題，首先應(yīng)明白正方體共有6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱。在正方體中任何一條棱都可以把兩個(gè)平面連在一起。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">3.在正方體的平面展開(kāi)圖中，6個(gè)面一定有5條棱連在一起，所以剪掉的棱一定是12-(6-1)=7條。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">4.從另一角度思考，從展開(kāi)平面圖上，把所有正方形中沒(méi)有相連的邊數(shù)數(shù)清楚除以2所得結(jié)果就是展開(kāi)前需要剪的條數(shù)。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">5.綜上可知，幾何體圖形展開(kāi)時(shí)需要剪多少條棱都可用此方法推算出或數(shù)出。比如五棱柱要通過(guò)剪棱展開(kāi)時(shí)，要剪15-(7-1)=8條。六棱柱要通過(guò)剪棱展開(kāi)時(shí)，要剪18-(8-1)=11條。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">6.另外立方體中:面的個(gè)數(shù)+頂點(diǎn)個(gè)數(shù)-棱的條數(shù)=2。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">7.上述結(jié)論往往用于選擇或填空題，第6點(diǎn)也可用于有關(guān)題目中列方程時(shí)的等量關(guān)系。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">　　2024年10月10日題</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">5.如圖2-1-3-7，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是-1、2，若有一點(diǎn)C，滿足AC=2AB，求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)，并在數(shù)軸上表示出點(diǎn)C。(</span>由績(jī)優(yōu)學(xué)案七年級(jí)上冊(cè)第二章“有理數(shù)及其運(yùn)算”.1.認(rèn)識(shí)有理數(shù).第3課時(shí)數(shù)軸.p25頁(yè)<b>能力提升題</b>10題改編)</p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">題意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">1.關(guān)于數(shù)軸的知識(shí)最有分量的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就是:</span><b style="font-size:18px; color:rgb(255, 138, 0);">一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于m-n或n-m的絕對(duì)值</b><span style="font-size:20px;">，這個(gè)結(jié)論可當(dāng)作一個(gè)公式用。?已知兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)求出兩點(diǎn)間的距離；?已知一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)和兩點(diǎn)之間的距離，求另一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">2.本題就是上述第二種，其實(shí)要解決本題應(yīng)有兩種方法，一是通過(guò)仔細(xì)觀察直接得到點(diǎn)C在數(shù)軸上的坐標(biāo)</span><span style="font-size:18px;">(點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù))；二是用數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式計(jì)算。</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">詳解過(guò)程:</b></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">1.本題包括了求</span><b style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">和</span><b style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">絕對(duì)值公式</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">的應(yīng)用這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。是有理數(shù)及其運(yùn)算這一章必須應(yīng)掌握的題型。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">2.其實(shí)本題通過(guò)觀察也可得出同樣的結(jié)論，不過(guò)這個(gè)方法只能是填空題或選擇題才能直接應(yīng)用。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">3.兩數(shù)之差的絕對(duì)值就是這兩數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">　　2024年10月15日題</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">6.設(shè)n是正整數(shù)，則n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0。應(yīng)用上述結(jié)論，在數(shù)1，2，3…，2021前分別添加“+”和“-”，并運(yùn)算，則所有可能的結(jié)果中最小非負(fù)結(jié)果是__。</span><span style="font-size:15px;">(績(jī)優(yōu)學(xué)案七年級(jí)上冊(cè)第二章“有理數(shù)及其運(yùn)算”.2有理數(shù)的加減運(yùn)算.第5課時(shí)有理數(shù)加減運(yùn)算的應(yīng)用.p38頁(yè)能力提升題1)</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">題意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1);">1.本題首先應(yīng)明白四個(gè)連續(xù)數(shù)的表示方法，n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這個(gè)結(jié)論意思是，四個(gè)連續(xù)正整數(shù)按照+、-、-、+這個(gè)順序添加(第一個(gè)“+”已省掉了)運(yùn)算結(jié)果為0。若按-、+、+、-這個(gè)順序添加運(yùn)算結(jié)果仍等于0。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1);">2.如果按照“+、-、+、-”或“-、+、-、+”這樣順序添加，運(yùn)算結(jié)果應(yīng)為+n-(n+1)+(n+2)-(n+3)=-2和-n+(n+1)-(n+2)+(n+3)=2。本題也完全可以按照這個(gè)結(jié)論提出問(wèn)題讓你解答。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1);">3.以上四種情況實(shí)際上就是四個(gè)整數(shù)運(yùn)算結(jié)果分別為:①(-1)+(+1)=0.②(+1)+(-1)=0.③(-1)+(-1)=-2.④(+1)+(+1)=2.</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1);">4.原題中“</span><b style="color:rgb(255, 138, 0);">則所有可能的結(jié)果中最小非負(fù)結(jié)果是▁▁</b>”意思是:因?yàn)?021÷4=505…1，這說(shuō)明在2021個(gè)正整數(shù)中，有505組四個(gè)連續(xù)正整數(shù)，每組運(yùn)算結(jié)果都是0。這個(gè)余數(shù)可以是最前邊的1，也可以是最后邊的2021，還可以是每隔四個(gè)數(shù)后面的5或9或13或17……(所有4的倍數(shù)加1的數(shù))總共有505+1=506個(gè)可能的結(jié)果。</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">解答過(guò)程:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">解:</span><b style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">∵</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">2021÷4=505……1</span></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;"> ∴</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">除了最前面的1，后面所有數(shù)可依次分為505組四個(gè)連續(xù)正整數(shù)，每組按+、-、-、+添在每組數(shù)的前面，計(jì)算結(jié)果是505個(gè)0相加還得0，最終結(jié)果為1+0=1，</span><b style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">∴</b><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">本題答案為1。</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">1.若設(shè)n為正整數(shù)，則n+1、n+2、n+3可表示它的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，依次類推。這樣的四個(gè)連續(xù)正整數(shù)總可以按一定順序添上“+”和“-”，運(yùn)算結(jié)果可以是0，也可以是2或-2。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">2.本題原題中給出的結(jié)論等式實(shí)際上就是為了利用互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，在四個(gè)連續(xù)正整數(shù)前有規(guī)律的添加“+”和“-”，有意識(shí)的得到+1和-1這樣的兩數(shù)之和為0。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">3.本題中分析過(guò)程和解答過(guò)程其實(shí)都是一些心理活動(dòng)，我這里有意增大篇幅是為了容易讀懂。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">　　2024年10月20日題</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">7.(我孫女單元測(cè)試卷上的題目)</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">題意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">1.本題要求的是X-3的絕對(duì)值與X+2的絕對(duì)值的和，并要說(shuō)明X在-2＜X＜3時(shí)，即無(wú)論X在-2與3之間怎樣變化，原式的值都不變的理由。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">2.若把-2和3在數(shù)軸上分別用點(diǎn)A、點(diǎn)B表示出來(lái)，再設(shè)點(diǎn)p為-2與3之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么必有AP+BP=AB</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">詳解過(guò)程:</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">1.這個(gè)題目得出一個(gè)結(jié)論，凡是本題形式的絕對(duì)值計(jì)算問(wèn)題，就不需要逐個(gè)考慮了，只要把絕對(duì)值符號(hào)里的(X+常數(shù))先變成X-常數(shù)，直接用兩個(gè)常數(shù)一個(gè)減另一個(gè)再取絕對(duì)值就可以了。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">2.用上面結(jié)論可直接計(jì)算下面各式的值:</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">　　2024年10月25日題</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">8.</span>(績(jī)優(yōu)學(xué)案七年級(jí)上冊(cè)第二章“有理數(shù)及其運(yùn)算”3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算.第3課時(shí)有理數(shù)的除法法則及運(yùn)算.p45頁(yè)<b>素養(yǎng)拓展</b>11題)</p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">題意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">1.本題特殊方法是先求原式的倒數(shù)，再直接得到原式的值。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">2.本題一般方法也需掌握，關(guān)鍵是通分和找最簡(jiǎn)公分母。</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">兩種解法如下:</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">1.本題從表面上看用特殊方法先求原式的倒數(shù)再得原式的值可簡(jiǎn)化原題。其實(shí)不然，只要會(huì)熟練的找到最簡(jiǎn)公分母，再能合理的書(shū)寫(xiě)表達(dá)常規(guī)方法并不比特殊方法復(fù)雜。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">2.找最簡(jiǎn)公分母的方法是一個(gè)最基本的要求必須爛熟于心，進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法才能得心應(yīng)手。下面是用短除法找本題中最簡(jiǎn)公分母(</span><b style="font-size:15px; color:rgb(1, 1, 1);">最小公倍數(shù)</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">)的方法。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">3.無(wú)論哪種運(yùn)算都需把握繁簡(jiǎn)度，該省的步驟一定要省掉，特別需要做好解后反思，盡可能的讓運(yùn)算步驟恰到好處，千萬(wàn)避免小題大做。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">　　2024年10月30日題</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">9.(績(jī)優(yōu)學(xué)案七年級(jí)上冊(cè)第二章“有理數(shù)及其運(yùn)算”3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算.第2課時(shí)有理數(shù)乘運(yùn)算律.p42頁(yè)素養(yǎng)拓展9題)</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">解法如下:</b></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">題意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">1.本題作法不難理解，就是把每個(gè)1都按通分需要化成分子分母相同的分?jǐn)?shù)，通過(guò)同分母減法得出所有的負(fù)分?jǐn)?shù)。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">2.容易看出每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與下一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相同，依次約分后最終剩下第一個(gè)分母2018和最后一個(gè)分子1009組成的分?jǐn)?shù)，再約分可得1/2。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">3.但本題最關(guān)鍵的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)到底是奇數(shù)還是偶數(shù)，這個(gè)問(wèn)題解決了，才能確定最后結(jié)果的符號(hào)。下面用一個(gè)類似的例子但分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)少得多的負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)的直觀的確定方法。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">4.由上面例子可知:負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為4。而這個(gè)4又恰好等于最后這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去分子，即10-6=4。那么回到原題最終得到的分?jǐn)?shù)，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是2018-1009=1009，這是個(gè)奇數(shù)，所以分?jǐn)?shù)的符號(hào)為“-”。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">1.對(duì)于本題這樣的跨度很大，但是用了省略號(hào)的題目，要確定它的個(gè)數(shù)不很直觀時(shí)，往往用上面的方法，即設(shè)計(jì)一個(gè)類似的有限個(gè)數(shù)得例子得到正確的結(jié)論。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">2.這個(gè)方法叫做類比，通過(guò)類比由簡(jiǎn)例得到繁題的結(jié)論。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px;">　　2024年11月5日題</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">10.</span>(績(jī)優(yōu)學(xué)案七年級(jí)上冊(cè)第二章“有理數(shù)及其運(yùn)算”2.有理數(shù)的加減運(yùn)算.第4課時(shí)有理數(shù)加減算(代數(shù)和).p35頁(yè)<b>素養(yǎng)拓展</b>10題)</p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">題意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">1.本題由題意可知3+a+b=a+b+c=b+c+(-1)，但到此為止并不是要利用這些等式計(jì)算出a、b、c。而是要按①②③這個(gè)順序三個(gè)數(shù)循環(huán)重復(fù)，并利用已知數(shù)3、-1、2所在位置得到a、b、c的值。 </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">2.在循環(huán)過(guò)程中3和c都在</span><b style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">①</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">的位置上，所以c=3；a和-1都在</span><b style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">②</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">的位置上，所以a=-1；b和2都在</span><b style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">③</b><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">的位置上，所以b=2。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">3.有了a、b、c的值可以驗(yàn)證最初所列出的三數(shù)相加的連等式是正確的，而且都等于4，這說(shuō)明了這個(gè)表格的循環(huán)節(jié)就是3、-1、2。有了循環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)和位次，本題問(wèn)題就迎刃而解了。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解答過(guò)程:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">解:由上面分析和表格下的數(shù)據(jù)可知:循環(huán)節(jié)為3、-1、2，循環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)為3。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">?∵2021÷3=673……2。這說(shuō)明共有673個(gè)循環(huán)節(jié)余數(shù)為2。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(1, 1, 1);">∴2021個(gè)數(shù)是下一個(gè)循環(huán)節(jié)的第二個(gè)數(shù)-1。</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1); font-size:20px;">本題從左到右的每個(gè)小格子所填整數(shù)規(guī)律是:?按3、-1、2循環(huán)出現(xiàn)直至第2021個(gè)數(shù)；?無(wú)論從中取哪三個(gè)連續(xù)數(shù)加起來(lái)都等于4固定不變。</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">初中數(shù)學(xué)五日一題(1)(1--10)解法與解析集錦到此結(jié)束，后續(xù)初中數(shù)學(xué)五日一題(2)(2--20)將另文發(fā)表，歡迎光臨和關(guān)注！</b></p>